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第一章测试
时间120分钟 满分150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．下列说法正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形肯定是平面图形
C．梯形肯定是平面图形
D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点
解析 梯形有两条边平行，过两条平行直线有且只有一个平面．
答案 C
2．室内有直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．垂直
答案 D
3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．bα B．b∥α
C．bα或b∥α D．b与α相交或bα或b∥α
答案 D
4．若三球的半径之比是1:2:3，则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的( )
A．4倍 B．3倍
C．2倍 D．1倍
解析 设三个球的半径依次为a,2a,3a，V最大＝π(3a)3＝36πa3，V1＋V2＝πa3＋π(2a)3＝πa3＝12πa3，＝3.
答案 B
5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
答案 C
6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
解析 依据公理4，知①正确；依据垂直于同一平面的两直线平行可知④正确．
答案 C
7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有( )
A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADC
C．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC
解析 如图，在四周体ABCD中，
∵AD⊥BC，AD⊥BD，BD∩BC＝B，
∴AD⊥面BCD.
又AD面ADC，
∴面ADC⊥面BCD.
答案 D
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，下列说法中正确的个数有( )
①CD⊥面ABB1A1；②BC1∥面A1DC；③面ADC⊥面ABB1A1.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，由两平面垂直的性质定理，可知CD⊥面ABB1A1，又CD面ADC，故面ADC⊥面ABB1A，故①、③正确，对于②连接AC1，BC1，设A1C∩AC1＝O，则O为AC1的中点，又D为AB的中点，
∴OD∥BC1.
又OD面A1DC，BC1面A1DC，
∴BC1∥面A1DC，故②正确．
答案 D
9．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
A. m3 B. m3
C. m3 D. m3
解析 由三视图可知，原几何体如图所示，故V＝3×13＋×13＝3＋＝ m3.
答案 C
10．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起到A′BD，使面A′BD⊥面BCD，连接A′C，则在四周体A′BCD的四个面中，相互垂直的平面有( )
①面ABD⊥面BCD；②面A′CD⊥面ABD；③面A′BC⊥面BCD；④面ACD⊥面ABC.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 由于面ABD⊥面BCD，故①正确．又AB⊥BD则A′B⊥BD，则A′B⊥BD，∴A′B⊥面BCD，故面A′BC⊥面BCD，又CD⊥BD，∴面A′CD⊥面ABD，故②③正确，④明显不正确．
答案 C
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
解析 由三视图知，该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的，所以体积是4π×4－2×2×4＝16π－16.
答案 16π－16
12．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为________．
解析 由题可知，上底面三角形的高为2sin60°＝，下底面三角形的高为8sin60°＝4，故棱台的高h＝＝.
答案
13．已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面开放图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则πl＝2πr，即l＝2r，
S圆锥表＝πr2＋πrl＝3πr2＝a，则r＝.
答案 m
14．如图四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA上的点，当E满足条件：________时，SC∥面EBD.
解析 当E为SA的中点时，设AC∩BD＝O，连接EO，EB，ED，
∵ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点．
∴EO∥SC，又SC面EBD，OE面EBD，
∴SC∥面EBD.
答案 E为SA的中点
15．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3，BD＝12，则线段CD的长为________．
解析 连接BC，
∵AC⊥l，∴∠CAB＝90°，
CB＝＝＝5.
又BD⊥l，α⊥β，
∴BD⊥平面α.
又BCα，∴BD⊥BC.
∴CD＝
＝＝13.
答案 13
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．
解 设圆台的母线长为l，则圆台的上、下底面面积为S上＝π·22＝4π，S下＝π·52＝25π，
∴圆台的两底面面积之和S＝S上＋S下＝29π，
又圆台的侧面积S侧＝π(2＋5)·l＝7πl，
由7πl＝29π，得l＝，
即母线长为.
17．(12分)如图所示，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.
证明 ∵EH∥FG，EH⃘面BDC，FG面BDC，
∴EH∥面BDC，
又EH面ABD，面ABD∩面BDC＝BD，
∴EH∥BD.
18．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
解 (1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
由于CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
由于OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝.
又A1C＝，则A1C2＝OC2＋OA，故OA1⊥OC.
由于OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.
19．(13分)如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，E，F分别是AB，PC的中点，∠PDA＝45°.
(1)求证：EF∥面PAD；
(2)求证：面PCE⊥面PCD.
证明 (1)设PD中点为G，连接FG，AG，
∵F，G分别为PC，PD的中点，
∴FG綊CD.又E为AB的中点，
∴AE綊FG.
即四边形EFGA为平行四边形．
∴EF∥AG.
又EF面PAD，AG面PAD，
∴EF∥面PAD.
(2)PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD.
又∵在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，
∴PA＝AD，∴AG⊥PD.
又CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，
∴CD⊥面PAD，CD⊥AG，又PD∩CD＝D，
∴AG⊥面PCD.
由(1)知EF∥AG，∴EF⊥面PCD，又EF面PCE，
∴面PCE⊥面PCD.
20．(13分)如图①，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC，AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图②.
(1)求证：EF⊥A′C；
(2)求三棱锥F—A′BC的体积．
解 (1)证法1：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，在四棱锥A′—BCEF中，EF⊥A′E，EF⊥EC，∴EF⊥平面A′EC，又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.
证法2：同证法1 EF⊥EC，
∴A′O⊥EF，∴EF⊥平面A′EC.
又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.
(2)在直角梯形EFBC中，EC＝2，BC＝4，
∴S△FBC＝BC·EC＝4.
又∵A′O垂直平分EC，
∴A′O＝＝，
∴三棱锥F—A′BC的体积VF—A′BC＝VA′—FBC＝S△FBC·A′O＝×4×＝.
21．(13分)如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．
(1)求证：C1O∥平面AB1D1；
(2)求证：A1C⊥平面AB1D1；
(3)若AA1＝2，求三棱锥A1—AB1D1的体积．
解 (1)证明：设B1D1的中点为O1，
∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，
∴C1O1綊AO.
故AOC1O1为平行四边形．
∴AO1∥C1O，又AO1面AB1D1，C1O面AB1D1，
∴C1O∥面AB1D1.
(2)证明：∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，A1C1∩C1C＝C1.
∴B1D1⊥面ACC1A1，A1C面ACC1A1.∴B1D1⊥A1C.
同理可证A1C⊥AB1.
又AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1.
(3)VA1—AB1D1＝VA—A1B1D1＝××2×2×2＝.
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