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课时提升作业(七)
一、选择题
1.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
2.对于定义在R上的任何奇函数,均有( )
(A)f(x)·f(-x)≤0 (B)f(x)-f(-x)≤0
(C)f(x)·f(-x)>0 (D)f(x)-f(-x)>0
3.(2022·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
(A)y=x+1 (B)y=-x3
(C)y= (D)y=x|x|
4.(2021·梧州模拟)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有>0成立,则必有( )
(A)函数f(x)是奇函数
(B)函数f(x)是偶函数
(C)f(x)在R上是增函数
(D)f(x)在R上是减函数
5.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值是5,则f(x)在区间[-7,-3]上是( )
(A)增函数,且最大值是-5
(B)增函数,且最小值是-5
(C)减函数,且最大值是-5
(D)减函数,且最小值是-5
6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,且f(1)>0,f(2)=,则m的取值范围是( )
(A)m< (B)m<且m≠1
(C)-1<m< (D)m>或m<-1
7.(2021·合肥模拟)函数f(x)对任意的x∈R,恒有f(x+2)=-f(x),且f(1)=2,则f(11)=( )
(A)-2 (B)2 (C)0 (D)1
8.(2021·钦州模拟)设函数f(x)是R上的偶函数,对于任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),且f(2)=3,则f(2022)+f(2021)=( )
(A)3 (B)-3 (C)2021 (D)2022
9.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
10.(2021·南宁模拟)已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(1),则x的取值范围是( )
(A)(,1) (B)(0,)∪(1,+∞)
(C)(,10) (D)(0,1)∪(10,+∞)
11.已知f(x)是定义在R上的最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为
( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
二、填空题
12.(2022·重庆高考)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
13.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f(f(5))的值为 .
14.函数f(x)=的奇偶性为 .
15.(力气挑战题)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函数,给出下列四个命题:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于x=1对称;③f(x)在[1,2]上是减函数;④f(2)=f(0),其中正确命题的序号是 (请把正确命题的序号全部写出来).
三、解答题
16.(力气挑战题)已知f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)求f(x)的单调区间,并加以证明.
答案解析
1.【解析】选D.f(x)=为奇函数,但f(0)不存在;对函数f(x)=x2,有f(0)=0,但f(x)为偶函数,故选D.
2.【解析】选A.∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0.
3.【解析】选D.选项A为一次函数(不过原点),不是奇函数,是增函数;选项B是奇函数,不是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项D,去确定值号,变为分段函数,易知其既是奇函数,又是偶函数,符合题意.
4.【解析】选C.若a>b,则a-b>0,由>0,
得f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b),
∴f(x)为R上的增函数,故选C.
5.【解析】选A.奇函数的单调性在关于原点对称的区间上是相同的,故在[-7,-3]上是增函数;又已知f(3)=5,故f(-3)=-f(3)=-5,而f(-3)是[-7,-3]上的函数值的最大值,故选A.
6.【解析】选C.由题意得f(2)=f(-1+3)=f(-1)
=-f(1)<0,即<0,
∴-1<m<,故选C.
7.【解析】选A.由f(x+2)=-f(x)得
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数,
∴f(11)=f(8+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-2.
8.【解析】选A.在f(x+6)=f(x)+f(3)中取x=-3,
则f(3)=f(-3)+f(3)⇒f(3)=0⇒f(x+6)=f(x),即函数f(x)是周期为6的函数,
∴f(2022)=f(6×335+2)=f(2)=3,
f(2021)=f(6×335+3)=f(3)=0,
∴f(2022)+f(2021)=3.
9.【思路点拨】先依据奇函数的性质求出b的值,再求出f(1),最终依据f(1)与f(-1)的关系求出f(-1).
【解析】选A.由于f(x)为定义在R上的奇函数,
所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,
即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A.
【误区警示】在解答本题时有两个误区:
一是审题不细致,没有留意奇函数这一条件,不能求出f(-1)的值,因而不能得出正确结论;二是在利用奇函数这一条件时,忽视举特例,造成运算量过大,毁灭计算失误.
10.【解析】选C.∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),
∴f(lgx)>f(1)⇒f(|lgx|)>f(1),
又f(x)在[0,+∞)上为减函数,
∴|lgx|<1,即-1<lgx<1,
∴<x<10,即x∈(,10).
【变式备选】已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)在(-1,1)上是减函数,则不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集为 .
【解析】∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
∴由f(1-x)+f(1-x2)<0,
得f(1-x)<-f(1-x2),∴f(1-x)<f(x2-1).
又∵f(x)在(-1,1)上是减函数,∴
解得0<x<1.∴原不等式的解集为(0,1).
答案:(0,1)
11.【思路点拨】由f(x)在[0,2)上的解析式可求出函数f(x)在[0,2)上的零点,然后依据周期为2,可分别得到函数在[2,4),[4,6]上的零点,从而可求得[0,6]上的零点个数.
【解析】选B.∵f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时,f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1),
∴当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1.
由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,
即x3=2,x4=3;
当4≤x≤6时,f(x)=0有三个根,
即x5=4,x6=5,x7=6.
故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.故选B.
【误区警示】在解答本题时有以下几点简洁造成错解:
(1)对于f(x)=0求根,不能机敏分段求值;
(2)对周期性不能正确应用,不能精确推断根的个数导致错解.
12.【解析】f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a.由于函数f(x)为偶函数,所以
f(-x)=f(x),即f(x)=x2+(a-4)x-4a
=x2-(a-4)x-4a=f(-x),
解得a=4.
答案:4
13.【解析】由f(x+2)=得
f(x+4)==f(x),
∴函数f(x)的周期T=4.
∴f(5)=f(1)=-5,
则f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-.
答案:-
14.【思路点拨】关于分段函数的奇偶性的推断,应分段分别考虑奇偶性,再总体推断.
【解析】由题意知,函数的定义域关于原点对称,
当x>0时,-x<0,f(x)=x2+2,
f(-x)=-(-x)2-2=-x2-2=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(x)=-x2-2,
f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-f(x).
当x=0时,f(-x)=0=-f(x),
所以对x∈R,均有f(-x)=-f(x),函数是奇函数.
答案:奇函数
【方法技巧】推断分段函数奇偶性的步骤
(1)分析定义域是否关于原点对称.
(2)对x进行分段争辩,寻求f(-x)与f(x)在各段上的关系.
(3)综合(2)在定义域内f(-x)与f(x)的关系,从而推断f(x)的奇偶性.
15.【思路点拨】由f(x+1)=-f(x),把其中的x替换为x+1,再次使用这一关系即可得f(x+2)=f(x),求得周期,再依据f(x)是偶函数得f(x+2)=f(-x),可得f(x)图象的对称轴,进而由[-1,0]上的单调性得出[1,2]上的单调性.
【解析】由f(x+1)=-f(x)⇒f(x+2)=-f(x+1)=f(x),故函数f(x)是周期函数,命题①正确;由于函数是偶函数,故f(x+2)=f(-x),函数图象关于直线x==1对称,故命题②正确;由于函数是偶函数,故函数在区间[0,1]上递减,依据对称性,函数在[1,2]上应当是增函数(也可依据周期性推断),故命题③不正确;依据周期性,f(2)=f(0),命题④正确.
答案:①②④
16.【解析】(1)∵f(x)+f(-x)=0恒成立,
即+=0恒成立,
则2(a-b)x2+2a=0对任意的实数x恒成立,
∴a=b=0.
(2)∵f(x)=(x∈R)是奇函数,
∴只需争辩[0,+∞)上f(x)的单调区间即可.
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=-=.
∵+1>0,+1>0,x2-x1>0,
而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0,
x1x2∈(1,+∞)时,x1x2-1>0,
∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0,
函数f(x)是增函数;
当x1,x2∈(1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0,
函数f(x)是减函数.
又f(x)是奇函数,∴f(x)在[-1,0]上是增函数,
在(-∞,-1)上是减函数,
又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故f(x)在[-1,1]上是增函数.
综上:f(x)的单调增区间是[-1,1],
单调减区间是(-∞,-1),(1,+∞).
【变式备选】已知指数函数y=g(x)满足g(2)=4,定义域为R的函数f(x)= 是奇函数,
(1)确定y=g(x)的解析式.
(2)求m,n的值.
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
【解析】(1)g(x)=2x.
(2)由(1)知f(x)=.
∵f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即=0,∴n=1.
∴f(x)=,
又由f(1)=-f(-1)知=-.
∴m=2.
(3)由(2)知f(x)==-+,
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
∵f(x)是奇函数,∴f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<f(k-2t2),
∴t2-2t>k-2t2.
即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,
从而Δ=4+12k<0⇒k<-,
∴k的取值范围是(-∞,-).
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