福建省连城一中2020-2021学年高二上学期第三次月考数学-Word版含答案.docx

福建省连城一中
2022～2021学年上学期第三次月考
高二数学试题
（时间：120分钟 总分：150分）
命题人：连城一中　罗文鑫 审题人：连城一中　魏水祥
一、选择题：（本大题共10小题，每小题分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向右，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，准线为 D．开口向上，准线为
2. 命题“存在，”的否定是（ ）
A．不存在， B．存在，
C．对任意的， D．对任意的，
3．若实数满足，则的最小值是( )
A．18 B．6 C．2 D．2
4.若数列是公比为4的等比数列,且,则数列是（　 　）
A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为的等比数列
5.在中，已知，为锐角，那么角的大小关系为( )
A． B． C． D．
6. 若实数满足，则的最大值是（ ）
A．10 B．8 　 C．6 D．4
7. 与椭圆共焦点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．设,，条件甲：“是以为直角顶点的三角形”；条件乙：“的坐标是方程的解”，那么甲是乙的( )
A．必要非充分条件 B．充要条件 C．充分非必要条件 D．既不充分也非必要条件
9.已知数列中,前项和为，且点在直线上，
则=（ ）
A. B. C. D.
10. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
11. 已知椭圆的方程为，点是椭圆上的点且,则的面积为____ ____.
12. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ．
13. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
14. 已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，则当 取得最小值时，点的坐标为 ．
15.给出如下命题：
①命题“在中，若，则”的逆命题为真命题；
②若动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹为线段；
③若为假命题，则，都是假命题；
④ 设，则“”是“”的必要不充分条件．
⑤若实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为；
其中全部正确命题的序号是 ．
三、解答题：（本大题共小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分13分）
已知命题“椭圆的焦点在轴上”；命题“对于任意的,不等式恒成立”；若命题为假命题，为假命题，求实数的取值范围.

17.（本小题满分13分）
在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且满足 、是方程的两根．
（1）求角的大小和边的长度；
（2）求的面积．

18．（本小题满分13分）
平面上的动点到点的距离等于它到直线的距离. 记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于两点，且点为线段的中点，
求直线的方程.

19.（本小题满分13分）
已知数列为等差数列，且,，数列的前项和，
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．求证：．

20.（本小题满分14分）
已知直线和双曲线相交于两点；
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得以为直径的圆恰好过原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分14分）
如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过 的直线交椭圆于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值．

福建省连城一中
2022～2021学年上学期第三次月考
高二数学参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
A
C
B
D
C
A
B
二、填空题：（本大题共5小题，每小题分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
11、 12、 13、 14、 15、①②④
三、解答题：（本大题共小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16、解：对于命题，∵椭圆的焦点在轴上，
∴，解得： ………………4分
故当命题为真命题时，
对于命题，∵对于任意的,不等式恒成立，
∴只需，解得: ………………8分
故当命题为真命题时，
由于命题为假命题，为假命题，
所以命题为假命题、命题为真命题，即“假真” ………………10分
则，解得或 ………………13分
故所求的实数的取值范围为．

17、解：(1)依题意得， ∴
∵ ， ∴． ………………… 4分
∵是方程的两个根
∴， …………………6分
由余弦定理得
∴． ………………… 9分
(2) 由（1）知，，
故三角形面积为． ………………… 13分

18、解：（1）由条件可知：点到点的距离与它到直线距离相等
∴点的轨迹是以点为焦点的抛物线，设其方程为: ,
则，∴
∴曲线的方程为 ……………………6分
(2)设，，
若，即直线垂直于轴，此时点不为线段的中点，
所以， ……………………7分
∵点为线段的中点，∴ ，
∴， ……………………8分
又∵，在抛物线上，
∴，………①
，………② ……………………9分
两式相减得：，
又 ， ∴ ……………………11分
即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即.经检验符合题意……………13分

19、解：（1）法一：设数列的首项为，公差为，
依题意有，即，解得，
∴ ………………3分
【另法：设数列的公差为，∴，∴
∴】
∵数列的前项和
∴当时， ； ………………4分
当时，
………………6分
又 也适合上式，　
所以数列通项公式为. ………………7分
（2）∵
∴

. ………………12分
∴ ，即 ………………13分
【另：∵
∴

】
20、解：（1） 由 消去得： ………………2分
依题意有，即 ………………4分
解得：且
故实数的取值范围为且 ………………6分

（2）假设存在实数，使得以为直径的圆恰好过原点
设， 则由 消去得：
由韦达定理，得， ………………8分
∴
∵以为直径的圆恰好过坐标系的原点，
∴
∴， ………………10分
【或由得出，得出】
即，整理得
将， 代入，并化简得，
∴， ………………13分
经检验，的确满足题目条件，故存在实数满足题目条件. ………………14分
21、解：（1）∵的周长为
∴，即
又
∴， 得 ……………2分
又∵ ∴， ……………4分
∴所求椭圆方程为． ……………5分
（2）易知直线的斜率存在，设其方程为. ……………6分
设，．
则由 消去得：，……………7分
由，得.
则，. ……………8分
又原点到直线的距离为，且
所以 …………10分
【或】
由于
………………………11分
设，则
∴ ………13分
当且仅当，即，即，即时等号成立，
所以面积取得最大值 ． ………………14分

【另法：由于
设, 则

当且仅当，即，即，即时等号成立，
此时， 所以面积取得最大值】