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课时提升作业(四十)
一、选择题
1.(2021·潍坊模拟)在证明命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的过程：“cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”中应用了( )
(A)分析法 (B)综合法
(C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法
2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0，只要证明( )
(A)2ab-1-a2b2≤0 (B)a2+b2-1-≤0
(C)-1-a2b2≤0 (D)(a2-1)(b2-1)≥0
3.假如a<0,b<0，则必有( )
(A)a3+b3≥ab2+a2b (B)a3+b3≤ab2+a2b
(C)a3+b3>ab2+a2b (D)a3+b3<ab2+a2b
4.若实数a,b满足a+b<0，则( )
(A)a,b都小于0 (B)a,b都大于0
(C)a,b中至少有一个大于0 (D)a,b中至少有一个小于0
5.若P=,Q=(a≥0),则P，Q的大小关系是( )
(A)P＞Q (B)P＝Q
(C)P＜Q (D)由a的取值确定
6.(2021·郑州模拟)若|loga|=loga,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是
( )
(A)a＞1,b＞1 (B)0＜a＜1,b＞1
(C)a＞1,0＜b＜1 (D)0＜a＜1,0＜b＜1
7.已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3>0，则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( )
(A)恒为正数 (B)恒为负数
(C)恒为0 (D)可正可负
8.已知a,b,c都是负数，则三数( )
(A)都不大于－2 (B)都不小于－2
(C)至少有一个不大于－2 (D)至少有一个不小于－2
二、填空题
9.(2021·福州模拟)假如则a,b应满足的条件是_______.
10.(2021·宁德模拟)函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是_______(由大到小排列).
11.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*)，且对任意的m,n∈N*都有：
(1)f(m,n+1)=f(m,n)+2.
(2)f(m+1,1)=2f(m,1).
给出以下三个结论：①f(1,5)=9；②f(5,1)=16；
③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有_______.
三、解答题
12.已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
13.(2022·福建高考)某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°.
(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°.
(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°.
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°.
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
②依据①的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论.
14.(1)求证：当a>1时，不等式成立.
(2)要使上述不等式成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，也请说明理由.
(3)请你依据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明.
答案解析
1.【解析】选B.从已知条件动身，推出要证的结论，满足综合法.
2.【解析】选D.a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0.
3.【解析】选B.(a3+b3)-(ab2+a2b)=(a3-ab2)-(a2b-b3)=a(a2-b2)-b(a2-b2)
=(a2-b2)(a-b)=(a-b)2(a+b),
由于a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,
于是(a3+b3)-(ab2+a2b)≤0,
故a3+b3≤ab2+a2b.
4.【解析】选D.假设a,b都不小于0，即a≥0,b≥0，则a+b≥0，这与a+b<0相冲突，因此假设错误，即a,b中至少有一个小于0.
5.【解析】选C.要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较
2a+7+与2a+7+的大小,
只要比较与的大小,
即比较a2+7a与a2+7a+12的大小,
只要比较0与12的大小，
∵0＜12，∴P＜Q．
6.【思路点拨】先利用|m|=m，则m≥0,|m|=-m，则m≤0，将条件进行化简，然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围.
【解析】选B.∵|loga|=loga,
∴loga≥0=loga1,依据对数函数的单调性可知0＜a＜1.
∵|logba|=-logba,
∴logba≤0=logb1，但b≠1,所以依据对数函数的单调性可知b＞1.
7.【思路点拨】利用奇函数的性质f(0)=0以及等差数列的性质a1+a5=2a3，关键推断f(a1)+f(a5)>0.
【解析】选A.由于f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，且a3>0，所以f(a3)>f(0)
=0.
而a1+a5=2a3，所以a1+a5>0，则a1>-a5，
于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),
因此f(a1)+f(a5)>0,
所以有f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.
8.【解析】选C.假设三个数都大于-2,即
则得到
而a,b,c都是负数，
所以
这与冲突，因此三个数中至少有一个不大于-2.
【变式备选】证明：若正数a,b,c满足abc＞8,则a,b,c中至少有一个大于2.
【解析】假设a,b,c都不大于2，即0＜a≤2,0＜b≤2,0＜c≤2,所以0＜abc≤8，这与abc＞8冲突，因此a,b,c中至少有一个大于2.
9.【解析】⇔且a≠b.
答案:a≥0,b≥0且a≠b
10.【解析】由于函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，所以x=2是f(x)的对称轴，f(x)在(2,4)上为减函数，可知f(2.5)＞f(1)＞f(3.5).
答案：f(2.5)＞f(1)＞f(3.5)
11.【解析】在(1)式中令m=1可得f(1,n+1)=f(1,n)+2,
则f(1,5)=f(1,4)+2=…=9;
在(2)式中，由f(m+1,1)=2f(m,1)得，
f(5,1)=2f(4,1)=…=16f(1,1)=16,
从而f(5,6)=f(5,1)+10=26，故①②③均正确.
答案:①②③
12.【证明】假设a,b,c,d都是非负数，由于a+b=c+d=1,
所以a,b,c,d∈［0,1］,
所以
所以
这与已知ac+bd>1相冲突，所以原假设不成立，即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.
13.【解析】①选择(2)式计算如下sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°
=sin 30°.
②三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α).
证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+
sin 30°sin α)
=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α
=sin2α+cos2α=.
14.【解析】(1)，由于a>1，所以>0，故原不等式成立.
(2)能将条件“a＞1”适当放宽.理由如下：由于a-1与a5-1对于任意的a>0且a≠1都保持同号，所以上述不等式对任何a>0且a≠1都成立，故条件可以放宽为a>0且a≠1.
(3)依据(1)(2)的证明，可推知：
若a>0且a≠1，m>n>0，
则有.
证明如下：
=,
若a>1，则由m>n>0得am-n-1>0,am+n-1>0，知不等式成立；
若0<a<1，则由m>n>0得am-n-1<0,am+n-1<0知不等式成立.
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