【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：1.2.docx

第一章 1.2 第2课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　B．1
C．2 D．3
答案　B
2．“a>1”是“<1”的(　　)
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
答案　B
3．“a＝－3”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[－3，＋∞)上为增函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
4．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是(　　)
A．若a∉M，则b∉M B．若b∉M，则a∈M
C．若a∉M，则b∈M D．若b∈M，则a∉M
答案　D
解析　命题的逆否命题．
5．已知a、b是实数，则3a＜3b是log3a＜log3b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由题知，3a＜3b⇔a＜b，log3a＜log3b⇔0＜a＜b.故3a＜3b是log3a＜log3b的必要不充分条件．故选B.
6．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　当x＝4时，a＝(4,3)，则|a|＝5；若|a|＝5，则x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．
7． “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(　　)
A．充分非必要条件 B．充分必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
答案　A
解析　一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解 ⇔Δ＝1－4m≥0⇔m≤.
当m<时，m≤成立，但m≤时，m<不愿定成立，故选A.
8．设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　由题可知，若a1<a2<a3，
即，当a1>0时，
解得q>1，
此时数列{an}是递增数列，
当a1<0时，解得0<q<1，
此时数列{an}是递增数列；
反之，若数列{an}是递增数列，
则a1<a2<a3成立，
所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件，故选C.
二、填空题
9．(1)命题“等腰三角形的两内角相等”的逆命题是“________________________”．
(2)命题“两个奇数之和确定是偶数”的否命题是“________________________”．
(3)命题“正方形的四个角相等”的逆否命题是“________________________”．
答案　(1)若一个三角形的两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形
(2)若两个数不都是奇数，则它们的和不愿定是偶数
(3)四个角不全相等的四边形不是正方形
10． a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)为一次函数________条件．
答案　必要不充分
解析　f(x)＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b
当a⊥b时，a·b＝0
f(x)＝x(b2－a2)
若|a|≠|b|为一次函数
若|a|＝|b|为常数，∴充分性不成立．
当f(x)为一次函数
∴a·b＝0且b2－a2≠0
∴a⊥b且|a|≠|b|
∴必要性成立．
11．命题A∩B＝A是命题∁UB⊆∁UA的________条件．
答案　充要
12．命题“若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．
答案　2
解析　原命题及其逆否命题为真命题．
三、解答题
13．写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假．
答案　略
解析　原命题：“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”，为真命题．
逆命题：“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”，为假命题．
否命题：“若x<2或y<3，则x＋y<5”，其为假命题．
逆否命题：“若x＋y<5，则x<2或y<3”，其为真命题．
14．已知命题p：|x－2|<a(a>0)，命题q：|x2－4|<1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
答案　0<a≤－2
解析　由题意p：|x－2|<a⇔2－a<x<2＋a，q：|x2－4|<1⇔－1<x2－4<1⇔3<x2<5⇔－<x<－或<x<.
又由题意知p是q的充分不必要条件．
所以有　①或　②，由①得a无解；由②解得0<a≤－2.
15．已知f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出其逆命题，推断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，推断其真假，并证明你的结论．
答案　略
分析　题干中已知函数的单调性，利用函数单调性大多是依据自变量取值的大小推导函数值的大小，当已知两个函数值的关系时，也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系，则不简洁直接利用单调性，故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．
解　(1)逆命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
(用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛看，故假设不成立．
从而a＋b≥0成立．逆命题为真．
(2)逆否命题：
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.
原命题为真，证明如下：
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．
∴原命题为真命题．
∴其逆否命题也为真命题
．
拓展练习·自助餐

1．(1)“x>y>0”是“<”的________条件．
答案　充分不必要
解析　<⇒xy·(y－x)<0，
即x>y>0或y<x<0或x<0<y.
(2)“tan θ≠1”是“θ≠”的________条件．
答案　充分不必要
解析　题目即推断θ＝是tan θ＝1的什么条件，明显是充分不必要条件．
2． “α＝＋2kπ(k∈Z)”是 “cos2α＝”的(　　)
A．充分而不必要条件　 　B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由α＝＋2kπ(k∈Z)，知2α＝＋4kπ(k∈Z)，
则cos2α＝cos＝成立，
当cos2α＝时，2α＝2kπ±，即α＝kπ±(k∈Z)，故选A.
3．若a1 、a2、a3均为单位向量，则a1＝(，)是a1＋a2＋a3＝(，)的________条件．
答案　必要不充分
解析　由题意可知，|a1|＝|a2|＝|a3|＝1，若a1＋a2＋a3＝(，)，则|a1＋a2＋a3|＝3＝|a1|＋|a2|＋|a3|，a1、a2、a3共线且方向相同，即a1＝a2＝a3＝(，)；若a1＝(，)，当a1、a2、a3不全相等时，a1＋a2＋a3≠(，)，故为必要不充分条件．
4．△ABC中“cosA＝2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　cosA＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC＝2sinBsinC，∴cos(B－C)＝0.∴B－C＝.∴B＝＋C＞，故为钝角三角形，反之明显不成立，故选B.
5 .设M、N是两个集合，则“M∪N≠∅”是“M∩N≠∅”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析M∪N≠∅，不能保证M，N有公共元素，但M∩N≠∅，说明M，N中至少有一元素，∴M∪N≠∅.
故选B.

老师备选题

1．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由于an＋1＞|an|⇒an＋1＞an⇒{an}为递增数列，但{an}为递增数列⇒an＋1＞an推不出an＋1＞|an|，故“an＋1＞|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件，选B.
2．已知A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log2x＞1，x∈R}，则x∈A是x∈B的________条件．
答案　必要非充分条件
解析　A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|x＞2}，由x∈A⇒/ x∈B，但由x∈B⇒x∈A.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，则{an}为等比数列的充要条件是________．
答案　q＝－1
4．已知A为xOy平面内的一个区域．
命题甲：点(a，b)∈{(x，y)|}；
命题乙：点(a，b)∈A.
假如甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是(　　)
A．1　　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
答案　B

解析　设所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN为集合B.由题意，甲是乙的充分条件，则B⊆A，所以区域A面积的最小值为S△PMN＝×4×1＝2.故选B.