2021高中数学(人教A版)选修2-2课后巩固：1-4-生活中的优化问题举例.docx

1设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B.C. D2答案C解析设底面边长为x，则表面积Sx2(x0)，S(x34V)令S0，得唯一极值点x.2用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 B8C10 D12答案B3用长度为l的铁丝围成长方形，则围成的长方形的最大面积为()A. B.C. D.答案D解析设长方形一边为x，则另一边为.Sxx2x.S2x. 令S0，得x.S最大()2.4设函数f(x)x(xa)2(xR，其中aR)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0求函数f(x)的极大值和微小值；(3)当a3时，证明存在k 1,0，使得不等式f(kcosx)f(k2cos2x)对任意的xR恒成立解析(1)当a1时，f(x)x(x1)2x32x2x，得f(2)2，f(x)3x24x1，f(2)12815，当a1时，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为5xy80.(2)f(x)x(xa)2x32ax2a2x，f(x)3x24axa2(3xa)(xa)，令f(x)0，解得x或xa.由于a0，以下分两种状况争辩若a0，当x变化时，f(x)的正负如下表：x(，)(，a)a(a，)f(x)00因此，函数f(x)在x处取得微小值f()，且f()a3.函数f(x)在xa处取得极大值f(a)，且f(a)0.若a0，当x变化时，f(x)正负如下表：x(，a)a(a，)(，)f(x)00因此函数f(x)在xa处取得微小值f(a)，且f(a)0；函数f(x)在x处取得极大值f()，且f()a3.(3)证明：由a3，得到1，当k 1,0时，kcosx1，k2cosx1.由(2)知f(x)在(，1上是减函数，要使f(kcosx)f(k2cos2x)(xR)，只要kcosxk2cos2x(xR)即cos2xcosxk2k(xR)*设g(x)cos2xcosx(cosx)2，则函数g(x)在R上的最大值为2.要使*式恒成立必需k2k2，即k2或k1.所以，在区间1,0上存在k1，使得f(kcosx)f(k2cos2x)对任意的xR恒成立5设A、B两地相距30千米，如下图所示在它们之间铺设一条铁道，由于地质条件不同，在y0地区铺设费用为105元/千米，而在y0地区铺设费用为6104元/千米，求最经济的铺设线路解析设ADx，由图形的对称性可知，争辩y轴的一侧即可由点A向x轴作垂线，设垂足为C，则CD5cot，AD.DO15DC155cot.设铺设铁道的费用为P，则P(155cot)6104105.P31055105.令P0，得.cos，此时sin，cot.OD.在x轴上取点D(，0)，E(，0)，则ADDEEB为最佳经济铺设线路