2022届数学一轮(人教A版--理科)-第四章-阶段回扣练4.docx

阶段回扣练4　三角函数、解三角形
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．下列函数中周期为π且为偶函数的是 (　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，且周期是π，故选A.
答案　A
2．(2022·包头市测试)已知sin 2α＝，则sin2＝ (　　)
A. B. C. D.
解析　依题意得sin2＝(sin α＋cos α)2＝(1＋sin 2α)＝，故选D.
答案　D
3．(2021·合肥检测)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析　依题意得f(x)＝2sin，且f ＝2sin＝－2，因此其图象关于直线x＝对称，故选D.
答案　D
4．(2021·天津南开模拟)当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值是
(　　)
A. B. C．2 D．4

解析　当0＜x＜时，0＜tan x＜1，
f(x)＝＝.
设t＝tan x，则0＜t＜1，y＝＝≥＝4，当且仅当t＝1－t，即t＝时，等号成立．
答案　D
5．(2022·南昌模拟)已知函数f(x)＝cos ωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝sin的图象，只要将y＝f(x)的图象 (　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析　依题意得＝π，ω＝2，f(x)＝cos 2x，
g(x)＝sin＝cos＝cos＝cos，因此只需将y＝f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．
答案　B
6．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为(　　)
A．500(＋1)m B．500 m
C．500(＋1)m D．1 000 m
解析　过点D作DE∥AC交BC于E，由于∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，
故∠ABD＝15°，由正弦定理，得AB＝
＝＝500(＋)(m)
所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)．
答案　A
7．(2021·湖北七市(州)联考)将函数g(x)＝3sin图象上全部点向左平移个单位，再将各点横坐标缩短为原来的，得到函数f(x)，则 (　　)
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在上单调递增
解析　依题意，将函数g(x)的图象向左平移个单位长度得到的曲线方程是
y＝3sin＝3cos 2x，再将各点横坐标缩短为原来的，得到的曲线方程是y＝3cos 4x，即f(x)＝3cos 4x，易知函数f(x)＝3cos 4x在上单调递减，故选A.
答案　A
8．(2022·乌鲁木齐诊断)在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A＝ (　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析　由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，
∴tan B＝3tan A，∴0＜A，B＜，又cos C＝，故sin C＝，
∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，
∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2，将tan B＝3tan A代入，得＝－2，∴tan A＝1或tan A＝－，而0°＜A＜90°，则A＝45°，故选B.
答案　B

9．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个零点，则m的取值范围是 (　　)
A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．[1，2]
解析　利用三角函数公式转化一下，
得f(x)＝2sin－m，
它的零点是函数y1＝2sin和y2＝m的交点所对应的x的值，
∴要在上有两个零点，y1和y2就要有两个交点，
结合函数y1＝2sin在上的图象，知当y2＝m在[1，2)上移动时，两个函数有两个交点．
答案　B
10．(2022·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为 (　　)
A. B. C．π D．2π
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，由2sin＝1，得sin＝，设x1，x2分别为距离最小的相邻交点的横坐标，则ωx1＋＝2kπ＋，ωx2＋＝2kπ＋(k∈Z)，两式相减，得x2－x1＝＝，所以ω＝2，故f(x)＝2sin的最小正周期为π，故选C.
答案　C
二、填空题
11．已知sin＝，α∈，则cos α＝________．
解析　∵α∈，∴α＋∈，
∴cos＝－＝－
＝－，
∴cos α＝cos＝coscos ＋
sinsin ＝×＋×＝.
答案　
12．(2022·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
解析　由已知及正弦定理得2b＝3c，由于b－c＝a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cos A＝＝－.
答案　－
13．如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)
图象的一部分，则其函数解析式是________．
解析　由图象知A＝1，＝－＝，得T＝2π，则ω＝1，所以y＝sin(x＋φ)．由图象过点，可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又|φ|＜，所以φ＝，所以所求函数解析式是y＝sin.
答案　y＝sin
14．(2022·江苏卷)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
解析　由已知sin A＋sin B＝2sin C及正弦定理可得a＋b＝2c.又由余弦定理得cos C＝＝＝
≥＝，当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立，
所以cos C的最小值为.
答案　
15．(2022·新课标全国Ⅰ卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
解析　由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，即bc≤4，故S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，则△ABC面积的最大值为.
答案　
三、解答题
16．(2022·福建卷)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解　法一　(1)由于0<α<，sin α＝，
所以cos α＝.
所以f(α)＝－＝.
(2)由于f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
法二　f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin.
(1)由于0<α<，sin α＝，所以α＝，
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
17．(2022·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，
cos∠ADC＝.
(1)求sin ∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解　(1)在△ADC中，由于cos∠ADC＝，
所以sin ∠ADC＝.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin ∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin ∠B
＝×－×
＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
18．(2022·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝，求△ABC的面积．
解　(1)由题意得－＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，
sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，
得2A－＋2B－＝π，
即A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝.
由a<c，得A<C，从而cos A＝，
故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
所以，△ABC的面积为S＝acsin B＝.
19．已知函数f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx的图象关于直线x＝对称，其中ω∈.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，锐角B满足f ＝，b＝，求△ABC面积的最大值．
解　(1)由于f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin的图象关于直线x＝对称，
所以2ω×－＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝＋1.
由于ω∈，所以－＜＋1＜，
所以－1＜k＜1(k∈Z)，所以k＝0，ω＝1，
所以f(x)＝2sin.
(2)f ＝2sin B＝，所以sin B＝，由于B为锐角，所以0＜B＜，所以cos B＝，由于cos B＝，所以＝，所以ac＝a2＋c2－2≥2ac－2，所以ac≤3，当且仅当a＝c＝时，ac取到最大值3，
所以△ABC面积的最大值为acsin B＝×3×＝.