【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：B10函数模型及其运算.docx

B10 函数模型及其运算

【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】14. 定义域为的偶函数满足对任意，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 ．
【学问点】抽象函数及其应用；函数的零点．B9 B10
【答案】【解析】 解析：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，
函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．

∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，
即loga3＞﹣2，∴3＜，解得-＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，
故答案为：（0，）．
【思路点拨】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，依据函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．

【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】18．（本小题满分12分）
为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建筑隔热层．体育馆要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C万元与隔热层厚度cm满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建筑费用与20年的能源消耗费用之和．
（I）求的值及的表达式；
（II）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．
【学问点】函数模型及其应用B10
【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）70
（Ⅰ）当时，，，

（Ⅱ）
设，．
当且仅当这时，因此的最小值为70．
即隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
【思路点拨】依据等量关系列出等式，利用均值不等式求出最小值。

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】16．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题
(1) (2) 在[-2，2]上有5个零点
(3) 点(2022，0)是函数的一个对称中心
(4) 直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是
【学问点】奇函数 函数的单调性 函数的其图像B3 B4 B10
【答案】【解析】(1) (2) (3) 解析：由奇函数的性质知所以(1)正确；由得，所以f(1)=0，又f(0)=f(2)=0，且函数的周期为2，又当且时，有，所以函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数模型如图：

由函数模型知(2)(3)也正确，所以正确的序号为(1) (2) (3).
【思路点拨】抓住函数的性质特征，利用函数模型结合其图像特征解题即可..