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§5 简洁的幂函数
课时目标 1.把握幂函数的概念.2.生疏α＝，1,2,3，－1时幂函数y＝xα的图像与性质.3.理解奇、偶函数的定义及图像的性质．
1．假如一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为________．
2．一般地，图像关于______对称的函数叫作奇函数，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．
3．(1)一般地，假如对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有________，那么函数f(x)确定是偶函数．
(2)一般地，假如对于函数f(x)的定义域内______一个x，都有________，那么函数f(x)确定是奇函数．
4．幂函数y＝xα，当α＝2k(k∈Z)时，y＝xα是______函数，当α＝2k－1 (k∈Z)时，y＝xα是______函数．(填“奇”或“偶”)
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
2．幂函数f(x)的图像过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A. B．64 C．2 D.
3．下列是y＝的图像的是( )
4．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
5．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0
B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D.＝－1
6．下面四个结论：①偶函数的图像确定与y轴相交；②奇函数的图像确定过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．
其中正确的命题个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数y＝x－2m－3的图像过原点，则实数m的取值范围是____________________．
8．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝______________.
9．已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________.
三、解答题
10．推断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
11．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；(4)幂函数．
力气提升
12．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图像关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
13．已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图像；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图像从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．
2．幂函数y＝xα的单调性，在(0，＋∞)上，α>0时为增函数，α<0时为减函数．
3．函数奇偶性
(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域确定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．
(2)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
4．函数的奇偶性与图像的对称性的关系
(1)若一个函数是奇函数，则其图像关于原点对称，反之，若一个函数图像关于原点中心对称，则其确定是奇函数．
(2)若一个函数是偶函数，则其图像关于y轴对称，反之，若一个函数图像关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．
§5 简洁的幂函数
学问梳理
1．幂函数 2.原点 3.(1)任意 f(－x)＝f(x) (2)任意
f(－x)＝－f(x) 4.偶 奇
作业设计
1．C [依据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]
2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
3．B [y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图像上凸．]
4．B [F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．]
5．D [∵f(－x)＝－f(x)，A、B明显正确，
由于f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．
当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]
6．A [函数y＝是偶函数，但不与y轴相交，故①错；
函数y＝是奇函数，但不过原点，故②错；
函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]
7．m<－
解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
8．2
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.
9．0
解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)
＝－f(1)＝－4，
∴f[f(7)]＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0＋4)＝－f(0)＝0.
10．解 (1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
11．解 (1)若f(x)为正比例函数，
则⇒m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则⇒m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
⇒m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
12．解 由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图像关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．
即y＝x－4.
13．解 (1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图像如图所示．
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图像可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得1<a≤3.
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