2021高考数学(文理通用)一轮课时作业38-空间直角坐标系.docx

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课时提升作业(三十八)
空间直角坐标系
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A.y轴上　　　　　 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.yOz平面上
【解析】选C.由点的坐标的特征可知该点在xOz平面上.
2.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为(　　)
A.垂直于xOz平面的一条直线
B.平行于xOz平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
【解析】选A.y变化时,点P的横坐标为1,竖坐标为2保持不变,点P在xOz平面上的射影为P′(1,0,2),所以P点的集合为直线PP′,它垂直于xOz平面,故选A.
3.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,-3,-4)两点的位置关系是(　　)
A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
【解析】选C.由于P,Q的横坐标、纵坐标及竖坐标均互为相反数,
所以P,Q两点关于坐标原点对称.
4.在空间直角坐标系中,点P(3,1,5)关于xOz平面对称的点的坐标为(　　)
A.(-3,1,5) B.(-3,-1,5)
C.(3,-1,5) D.(-3,1,-5)
【解析】选C.依据点关于面的对称点的性质和空间直角坐标系内点的坐标定义可知:两点的横坐标、竖坐标相同,纵坐标互为相反数.
5.已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的棱长等于(　　)
A.4 B.2 C.3 D.23
【解析】选A.由于A(-1,2,-1),B(3,-2,3)是不在同一个表面上的两个顶点,所以它们是体对角线的两个端点,故体对角线长度等于|AB→|=48=43,若设正方体的棱长为a,则有3a=43,故a=4.
6.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足(　　)
A.x+y+z=-1 B.x+y+z=1
C.x+y+z=4 D.x+y+z=0
【解析】选D.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C应满足|AC→|2=|BC→|2,
即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化简得x+y+z=0.
7.(2021·衡阳模拟)在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′,则点M′关于原点对称的点的坐标为(　　)
A.(-2,0,-3)　　　　　 B.(-3,0,-2)
C.(2,0,3) D.(-2,0,3)
【解析】选C.由题意得,点M′的坐标为(-2,0,-3),故点M′关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).
【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧
(1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数.
(2)关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变.
(3)关于原点对称,三个坐标都变为原坐标的相反数.
(4)在空间直角坐标系中求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.
8.(力气挑战题)已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为(　　)
A.(72,4,-1) B.(2,3,1)
C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)
【解析】选D.由题意知,点A(4,1,3),C(3,7,-5)的中点为M72,4,-1,
设点D的坐标为(x,y,z),
则72=x+22,4=y-52,-1=z+12,解得x=5,y=13,z=-3,故D的坐标为(5,13,-3).
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.点P(1,0,2)关于原点的对称点P′的坐标为　　　　.
【解析】由题意可知,原点是P和P′的中点,依据中点坐标公式,可得
P′(-1,0,-2).
答案:(-1,0,-2)
10.(2022·杭州模拟)若两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,
2sinβ,1),则|BA→|的取值范围是　　　　　.
【思路点拨】利用两点间距离公式求出|BA→|,然后结合三角函数学问求范围.
【解析】由于|BA→|=
(3cosα-2cosβ)2+(3sinα-2sinβ)2+(1-1)2
=13-12(cosαcosβ+sinαsinβ)
=13-12cos(α-β),
所以13-12≤|BA→|≤13+12,
即1≤|BA→|≤5.
答案:[1,5]
11.给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为30,则该点的坐标为　　　　.
【解析】设点P的坐标是(x,0,0),
由题意得,|P0P→|=30,
即(x-4)2+12+22=30,所以(x-4)2=25.
解得x=9或x=-1.
所以点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).
答案:(9,0,0)或(-1,0,0)
【加固训练】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为　　　　　.
【解析】设点C的坐标为(0,0,z),
由条件得|CA→|=|CB→|,
即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2
=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2,解得z=149.
答案:(0,0,149)
12.在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3,-1,2),其中心为M(0,1,2),则该正方体的棱长为　　　.
【解析】设棱长为a,
由于A(3,-1,2),中心M(0,1,2),
所以C1(-3,3,2).
所以|AC1→|=213,所以棱长a=2133=2393.
答案:2393
【加固训练】已知三角形的三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则BC边上的中线长为　　　.
【解析】设BC的中点为D,
则D3+52,2+02,-6+22,
即D(4,1,-2),所以BC边上的中线
|AD→|=(4-2)2+(1+1)2+(-2-4)2=211.
答案:211
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),求AC边上的高BD.
【解析】设AD→=λAC→,D(x,y,z),
则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),
所以x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.
所以BD→=(-4,4λ+5,-3λ),
所以4(4λ+5)-3(-3λ)=0,
所以λ=-45,所以BD→=-4,95,125,
所以|BD→|=(-4)2+952+1252=5.
14.(2021·合肥模拟)已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),求证:△ABC是直角三角形.
【证明】由于|AB→|=89,|AC→|=53,|BC→|=14,
所以|AC→|2+|BC→|2=|AB→|2,所以△ABC为直角三角形.
15.(力气挑战题)如图,正方体AC′的棱长为a,M为BD′的中点,点N在A′C′上,且|A'N→|=3|NC'→|,试求MN的长.

【思路点拨】依据正方体的特点建立空间直角坐标系,由|A'N→|=3|NC'→|数量关系确定点N的位置,由两点间距离公式求解.
【解析】以D为原点建立如图空间直角坐标系Oxyz,

由正方体棱长为a,所以
B(a,a,0),A′(a,0,a),
C′(0,a,a),D′(0,0,a).
由M为BD′的中点,
取A′C′中点O′,
所以Ma2,a2,a2,
O′a2,a2,a,由于|A'N→|=3|NC'→|,
所以N为A′C′的四等分点,从而N为O′C′的中点,
故Na4,34a,a.
依据空间两点间距离公式,可得
|NM→|=a2-a42+a2-3a42+a2-a2
=64a,即MN的长为64a.
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