资源描述
第3讲 等比数列及其前n项和
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an＞0，且a1·a10＝27，log3a2＋log3a9＝ ( )
A．9 B．6 C．3 D．2
解析 由于a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log3a2a9＝log327＝3.
答案 C
2．(2022·沈阳质量检测)记等比数列{an}的前n项积为Ⅱn，若a4·a5＝2，则Ⅱ8＝ ( )
A．256 B．81
C．16 D．1
解析 依题意得Ⅱ8＝(a1a8)(a2a7)(a3a6)(a4a5)＝(a4a5)4＝24＝16.
答案 C
3．在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝ ( )
A. B. C. D.
解析 设公比为q，则由题意知0＜q＜1，
由得a4＝3，a6＝2，
所以＝＝.
答案 D
4．(2022·青岛统一检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a4－a1＝78，S3＝39，设bn＝log3an，那么数列{bn}的前10项和为 ( )
A．log371 B. C．50 D．55
解析 设等比数列{an}的公比为q，由a4－a1＝a1(q3－1)＝78，S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝39，所以＝q－1＝＝2，解得q＝3，a1＝＝3，所以an＝3n，bn＝log33n＝n，则数列{bn}是等差数列，前10项的和为＝55，故选D.
答案 D
5．(2021·兰州模拟)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是 ( )
A．－ B．－5 C．5 D.
解析 由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3＝1，解得＝3，
所以数列{an}是公比为3的等比数列．
由于a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，
所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.
所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5.
答案 B
二、填空题
6．(2022·安徽卷)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．
解析 设{an}公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
所以(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，
解得d＝－1，
所以q＝＝＝＝1.
答案 1
7．(2022·杭州质量检测)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1·a2n－1＝4n，则数列{an}的通项公式是______．
解析 设数列{an}的公比为q，则由题意知a1＞0，q＞0.由a1·a2n－1＝4n得a1·a1q2n－2＝4n，即(a1qn－1)2＝(2n)2，所以a1qn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案 an＝2n
8．(2022·甘肃诊断)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________．
解析 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，明显q≠1且q＞0，由于S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，由于a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.
答案 8
三、解答题
9．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.
所以数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
10．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
(1)解 由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1，
∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明 ∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，
∴Tn＝－bn＋1， ①
∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)， ②
①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)，
∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1(n≥2)．
令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝，
∴{bn}是一个以为首项，以为公比的等比数列．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于 ( )
A．(3n－1)2 B.(9n－1)
C．9n－1 D.(3n－1)
解析 ∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，
∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，
又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，
故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．
因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．
答案 B
12．(2021·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论肯定正确的是 ( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C．数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm
解析 ∵bn＝am(n－1)(q＋q2＋…＋qm)
∴＝＝＝qm(常数)．
bn＋1－bn不是常数．
又∵cn＝(am(n－1))mq1＋2＋…＋m＝m，
∴＝＝(qm)m＝qm2(常数)．
cn＋1－cn不是常数．∴选C.
答案 C
13．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2，
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
答案
14．等比数列{cn}满足cn＋1＋cn＝10·4n－1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，且an＝log2cn.
(1)求an，Sn；
(2)数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，是否存在正整数m，k(1＜m＜k)，使得T1，Tm，Tk成等比数列？若存在，求出全部m，k的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)设数列{cn}的公比为q，由题意知，
c1＋c2＝10，c2＋c3＝c1q＋c2q＝40，
即解得
所以cn＝2·4n－1＝22n－1，
所以an＝log222n－1＝2n－1，
Sn＝＝＝n2.
(2)由(1)知bn＝＝，
于是Tn＝
＝.
假设存在正整数m，k(1＜m＜k)，使得T1，Tm，Tk成等比数列，则＝×，
可得＝＞0，所以－2m2＋4m＋1＞0，
从而有1－＜m＜1＋，
由m∈N*，m＞1，得m＝2，此时k＝12.
当且仅当m＝2，k＝12时，T1，Tm，Tk成等比数列.
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