2021届高考数学总复习课时训练：第8章-立体几何初步第4课时-平面与平面的位置关系-.docx

第八章　立体几何初步第4课时　平面与平面的位置关系

1. 两平面分别过两平行线中的一条，则这两平面的位置关系是________________．
答案：平行或相交
2. (2021·南京三模)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.
① 若mα，m⊥β，则α⊥β；
② 若mα，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；
③ 若mα，nβ，α∥β，则m∥n；
④ 若m∥α，mβ，α∩β＝n，则m∥n.
上述命题中为真命题的是________．(填序号)
答案：①④
解析：依据两平面垂直的判定定理知①正确；②m与n可能平行或不垂直相交，错误；③m与n可能异面，错误；由直线与平面平行的性质定理知④正确．故真命题是①④.
3. 设a、b是异面直线，α、β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，aβ，bα，则当________(填一种状况即可)时，有α⊥β.
答案：a⊥b(开放题，答案不唯一)
解析：可以填a⊥b，也可以填a∥β或b∥α，都可以证明其结论正确．
4. 已知直线l⊥平面α，直线m平面β，下面有三个命题：①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β.其中真命题个数为________．
答案：2个
解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不愿定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的状况，故②错误；对于③，明显正确．故正确命题的个数为2.
5. 设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出四个论断：①α∩β＝b；②aβ；③a∥b；④a∥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的命题：________．
答案：①②③④或①②④③
解析：若α∩β＝b，aβ，a∥b，aα，且bα，则a∥α，即①②③④；若α∩β＝b，aβ，a∥α，则a∥b，即①②④③.
6. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
① 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；
② 若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；
③ 设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；
④ 直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
其中为真命题的是________．(填序号)
答案：①②
解析：由面面平行的判定定理可知①正确；由线面平行的判定定理可知②正确；对于③，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β；对于④，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α，也就是说当l垂直于α内的两条平行直线时，l不愿定垂直于α.

7. 在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.

答案：BM⊥PC
解析：∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AC⊥BD.又PA⊥底面ABCD, ∴ PA⊥BD.∵ PA∩AC＝A，∴ BD⊥平面PAC，∴ BD⊥PC.又BM⊥PC，BM∩BD＝B，∴ PC⊥平面BDM.∵ PC平面PCD, ∴ 平面MBD⊥平面PCD.
8. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

答案：
解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连结GK.

∵ 平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴ DK⊥平面ABC，∴ DK⊥AF.∴ AF⊥平面DKG，∴ AF⊥GK.简洁得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．∴ t的取值范围是.
9. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，E是PA的中点. 若D在PC上的射影为F.求证：平面DEF⊥平面PBC.

证明：∵ PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴ PD⊥BC.又ABCD是正方形，∴ BC⊥CD.∵ PD平面PDC，CD平面PDC，PD∩CD＝D，∴ BC⊥平面PDC.又DF平面PDC，∴ BC⊥DF.又D在PC上的射影为F，∴ DF⊥PC.∵ BC∩PC＝C, ∴ DF⊥平面PBC.又DF平面DEF，∴ 平面DEF⊥平面PBC.
10. 如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
(1) 求证：B1D1∥平面A1BD；
(2) 求证：MD⊥AC；
(3) 试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1.
∵ BB1＝DD1，∴ BB1D1D是平行四边形，
∴ B1D1∥BD.∵ BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，∴ B1D1∥平面A1BD.
(2) 证明：∵ BB1⊥平面ABCD， AC平面ABCD，∴ BB1⊥AC.∵ BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴ AC⊥平面BB1D.而MD平面BB1D，∴ MD⊥AC.
(3) 解：当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM，如图所示．

∵ N是DC的中点，BD＝BC，∴ NB⊥DC.
∵ DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，
而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴ BN⊥平面DCC1D1.
又可证得O是NN1的中点，∴ BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴ BN∥OM，∴ OM⊥平面CC1D1D.
∵ OM平面DMC1，∴ 平面DMC1⊥平面CC1D1D.
11. 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.
(1) 求证：平面AEC⊥平面ABE；
(2) 点F在BE上，若DE∥平面ACF，求的值．

(1) 证明：由于ABCD为矩形，所以AB⊥BC.
由于平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB平面ABCD，所以AB⊥平面BCE.
由于CE平面BCE，所以CE⊥AB.
由于CE⊥BE，AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE＝B，
所以CE⊥平面ABE.
由于CE平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE.
(2) 解：连结BD交AC于点O，连结OF.
由于DE∥平面ACF，DE平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.由于在矩形ABCD中，O为BD的中点，所以F为BE的中点，即＝.