江苏省宿迁市沭阳银河学校2021届高三1月月考试题-数学-Word版含答案.docx

沭阳银河学校2021届高三班级1月月考
数 学 试 题
试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分．
一、填空题：（本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）
1.已知集合，集合，则 = ▲ ．
2.已知复数（为虚数单位），则的值为 ▲ ．
3.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和
为5的概率是 ▲ ．

4.阅读下面的流程图，若输入，，则输出的结果是 ▲ ．
5.在中，，，，则= ▲ ．
6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ．

7.在等比数列中，，，则 ▲ ．
8.函数 （，则“”是“函数为奇函数”的 ▲ 条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填写）
9.已知的最小值为则的值为 ▲ ．
10．在中，，，，设点，满足
.若，则的值是 ▲ ．
11.设，直线圆.若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是 ▲ ．

12．若是定义在上的奇函数，当时，，则函数的全部零点之和为 ▲ ．
13.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且
焦距为，为左右顶点，左准线与轴的交点为，
，若点在直线上运动，且离心率，
则的最大值为 ▲ ．
14.若函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围
是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15. （本小题14分）
已知菱形所在平面，点、分别为线段、的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：∥平面．

16. （本小题14分）
已知中，角、、的对边分别为、、，，向量，，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当取得最大值时，求和．

17. （本小题14分）
如图①，一条宽为1km的两平行河岸有三个工厂、、，工厂与、的直线距离都是2km，与河岸垂直，为垂足．现要在河岸上修建一个供电站，并方案铺设地下电缆和水下电缆，从供电站向三个工厂供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别为2万元/km、4万元/km．
（Ⅰ）已知工厂与之间原来铺设有旧电缆（原线路不变），经改造后仍可使用，旧电缆的改造费用是0.5万元/km．现打算将供电站建在点处，并通过改造旧电缆修建供电线路，试求该方案总施工费用的最小值；
图②
（Ⅱ）如图②，已知供电站建在河岸的点处，且打算铺设电缆的线路为、、，若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式,并求总施工费用的最小值．
图①

18. （本小题16分）
若椭圆的方程为，、是它的左、右焦点，椭圆过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为、，直线的方程为，
是椭圆上任一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；
（Ⅲ）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于
、两点，与轴交于点，．
证明：为定值．

19. （本小题16分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．

20. （本小题16分）
已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．
（Ⅰ）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的确定值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求数列的通项公式．

一、填空题(14×5＝70分)
1、{ 0 }
2、
3、
4、2
5、7
6、
7、
8、充要
9、4
10、
11、
12、
13、
14、

二、 解答题（共90分）

15、（14分）（1）平面，平面，
，又是菱形，， 又平面，，平面，又平面，
．
（2）取线段的中点，连结，
则∥，且，又∥，且，
∥，，四边形是平行四边形，
∥，
又平面，平面，
∥平面．

16、（14分）
(1)由
又则
(2)
又则时最大
由正弦定理得
所以，

17、（14分）
（1）（1）过作于，地下电缆的最短线路为
该方案总费用为（万元）
（2），，
则
设 则
由得
列表
, 则
此时
因此施工总费用的最小值为万元，其中

18、（16分）
（1）
（2）设，则，
=
（3）设，,
由得
所以代入椭圆方程得
①
同理由得 ②
由①-②得

19、（16分）
（1）
（2）
①时在上单调递减，在上单调递增
②时的单调递增区间
单调递减区间
③时的单调递增区间
单调递减区间
（3）①由（2）时不符合题意

②时在上递减，在上递增，则当
当时，
, 故
则解得
③时在上递增，在上递减
则且时
则解得
综上或

20、（16分）
（1）设无穷等差数列的公差为，则
所以
又
则=
所以则或
（2）（i）记，明显
对于，
有
故，所以
（ii）由题意可知，集合按上述规章，共产生个正整数．而集合按上述规章产生的个正整数中，除这个正整数外，还有，共个数．
所以，
又，
所以
当时，而也满足
所以，数列的通项公式是