广东省培正中学2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题-Word版含答案.docx

广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试
高二数学（理科）试题
（本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．设为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数（ ）
A．2 B．或－2 C．或 D．
3. 成等差数列是成立的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4．若空间中四条两两不同的直线满足则下面结论确定正确的是（ ）
A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
5．若,且,则是 ( )
A.第一、二象限角 B.第一、三象限角 C.第一、四象限角 D.其次、三象限角
6．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．执行如右图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B. C. D.
8. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A. B. C. D. 4
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
12
1
12

A
B
C
D
1
9．若实数 满足，则关于的函数的图象外形大致是 ( )

10. 设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12. 定义在上的函数，假如存在函数为常数，使得对一切实数都成立，则称为函数的一个“承托函数”。现有如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有很多个；②为函数的一个承托函数；③定义域和值域都是的函数不存在承托函数。其中正确的命题是( ).
A.① B.② C. ①③ D. ①②③
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分。
13.设等差数列的前项和为，若,则=
14. 的开放式的常数项是 （用数字作答）.
15．若不等式的解集是R，则实数的取值范围是
16．已知椭圆E：的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为

三.解答题：本大题共6题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本题满分12分）
已知分别是的角所对的边，且，。
(1)若的面积等于，求；(2) 若，求的值．

18．（本题满分12分）
某楼盘开展套餐促销优待活动，优待方案如下：选择套餐一的客户可获得优待万元，选择套餐二的客户可获得优待万元，选择套餐三的客户可获得优待万元．依据以往的统计结果绘出参与活动的统计图如图所示，现将频率视为概率．
（1）求某两客户选择同一套餐的概率；
（2）若用随机变量表示某两客户所获优待金额的总和，求的分布列和数学期望．

19．（本题满分12分）
已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求证：BD⊥AE
（2）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

20．（本题满分12分）
数列前项和为，且（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：．

21．（本题满分12分）
已知函数和．
（1）当m=1时，求方程f (x) = g(x)的实根；
（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；
（3）求证：．

22.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线：，直线：（为参数）.
(1)写出曲线的参数方程，直线的一般方程；
（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

广州市培正中学2022-2021学年其次学期期末考试
高二数学（理科）参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
D
C
D
C
C
B
A
B
A

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分。
13. 24； 14.60 15. 16.
三.解答题：本大题共6题，满分70分．
17．（本题满分12分）
解：（I）依据三角形面积公式可知：推得；
又依据三角形余弦公式可知：推得。
综上可得。 ………………………………4分
（Ⅱ）,
………………………………6分
当时， ………………………………7分
当时，,由余弦定理得，
联立，得………………………………10分
，，
综上或。 ………………………………12分
解二：,
………………………………6分
当时， ………………………………7分
当时，,

综上或。 ………………………………12分
18．（本题满分12分）
解：（1）记“某两客户选择同一套餐”为大事，则．
……3分
（2）由题意知某两客户可获得优待金额的可能取值为、、、、、．
……4分
，，，，，．
……9分
所以的分布列为

……10分
所以．……12分
19．（本题满分12分）
解：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. ………………………………………………1分
连结AC，∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC. ………………………2分
∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PC. ………………………3分
又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. ………………………4分
∵AE⊂平面PAC. ∴BD⊥AE. ………………………5分
(2)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.
∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角． ……………………………………………7分
在Rt△ADE中，DF＝＝＝， ∴BF＝. ………………………… 9分
又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB＝， …………………………………………11分
∴∠DFB＝，即二面角D－AE－B的大小为 .…………………12分
解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，………………………………6分
从而＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．[Z#x设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
，
由，取
由，取…………9分
设二面角D－AE－B的平面角为θ，则，…………11分
∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为 .…………12分
注：若取算出可酌情给分。
20．（本题满分12分）
解：（1）由于，所以，
两式相减，有，即，
所以，． .…………3分
又由于当时，，所以． ……4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以． ……7分
（2）由（1）得． …… 9分
所以． ……10分
所以
，即． ……12分
21．（本题满分12分）
解：（1）m=1时，
而x > 0，所以方程即为 ………………1分
令，则，
而h(1)=0，故方程f(x)=g(x)有惟一的实根x=1. ………………4分
（2），
设，即
…………………………………………5分
①若，则，，这与题设冲突…6分
②若，方程的判别式，
当，即时，，
∴在上单调递减，
∴，即不等式成立…………………………………………………7分
当时，方程有两正实根，设两根为，

当单调递增，与题设冲突，
综上所述，。
所以，实数m的取值范围是-------------8分
（3）由（Ⅱ）知，当时，时，成立．
不妨令，
所以，
……………………………………10分
…………………………………………11分
累加可得
．
取n=1007，即得……………………………………12分
22.（本小题10分）
解：（1）曲线C的参数方程为： （为参数），
直线l的一般方程为： ………5分
（2）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为
，
则+-，其中为锐角．且.
当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为. …………10分