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双基限时练(七)
1．在(x－)10的开放式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
解析 通项Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－)rCx10－r.
令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系数为9C.
答案 D
2．在(x－)20的开放式中，系数是有理数的项共有( )
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
解析 Tr＋1＝C(x)20－r(－)r＝(－1)rC2·x20－r.
要使系数为有理数，只要－为整数，即为整数．
∵0≤r≤20，∴r＝2,8,14,20，∴共有4项．
答案 A
3．(2x－)9的开放式中，常数项为( )
A．－672 B．672
C．－288 D．288
解析 Tr＋1＝C(2x)9－r(－)r＝(－1)r29－rC·x9－r－，令9－r－＝0，得r＝6.
∴常数项为23C＝8C＝672.
答案 B
4．设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于( )
A．x5 B．(x＋2)5
C．(x－1)5 D．(x＋1)5
解析 P＝C＋C(x＋1)＋C(x＋2)2＋…＋C(x＋1)5＝(x＋1＋1)5＝(x＋2)5.
答案 B
5．在(＋)n的开放式中，常数项为60，则n等于( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析 Tr＋1＝C()n－r()r＝2rCx .
令＝0，则n＝3r.
∴2rC＝60，试验知r＝2，∴n＝6.
答案 B
6．(x2＋)8的开放式中x4的系数是( )
A．16 B．70
C．560 D．1120
解析 (x2＋)8的开放式的通项是Tr＋1＝C·(x2)8－r·()r＝2r·C·x16－3r，令16－3r＝4，得r＝4.因此x4的系数为24·C＝1120.
答案 D
7．对于二项式(＋x3)n(n∈N＋)，四位同学作出四种推断：
甲：存在n∈N＋，开放式中有常数项；
乙：对任意n∈N＋，开放式中没有常数项；
丙：对任意n∈N＋，开放式中没有x的一次项；
丁：存在n∈N＋，开放式中有x的一次项．
其中推断正确的是________．
解析 由通项公式
Tr＋1＝C()n－r·(x3)r＝Cx4r－n
若r＝1，则n＝4，T2就是常数项，令r＝1，n＝3时，就存在x的一次项．
因此应填甲、丁．
答案 甲丁
8．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的开放式中，x的系数为________(用数字作答)．
解析 x的系数为CC＋CC＋C＝3＋3＋1＝7.
答案 7
9．若9的开放式中x3的系数为，则常数a的值为________．
解析
答案 4
10．在(4x－2－x)6的开放式中，常数项为________．
解析 (4x－2－x)6开放式的通项为Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝(－1)rC(2x)2(6－r)－r，由2(6－r)－r＝0，得r＝4，∴(－1)4C＝15.即常数项为15.
答案 15
11．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n开放式中x的系数是19(m，n∈N*)．
(1)求f(x)开放式中x2的系数的最小值；
(2)当f(x)开放式中x2的系数取最小值时，求f(x)开放式中x7的系数．
解 (1)由题设条件，得m＋n＝19.
∴m＝19－n，x2的系数为
C＋C＝C＋C＝＋
＝n2－19n＋171＝(n－)2＋，
∵n∈N*，∴当n＝9，或n＝10时，
x2的系数取最小值()2＋＝81.
(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.
12．已知数列{an}是公比为q的等比数列．
(1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并证明．
解 (1)a1C－a2C＋a3C＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，
a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.
(2)归纳概括的结论为：若数列{an }是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1C＝a1(1－q)n，n为正整数．
证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1C
＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC
＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]
＝a1(1－q)n.
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