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沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果
阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题
命题人：高三数学组 审校人：高三数学组
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）
1．已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝( )
A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]
2．有关下列命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:若“x2=1则x≠1”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1<0”
D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
3．已知函数是幂函数且是上的增函数,则的值为（ ）
A．2 B．-1 C．-1或2 D．0
4．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )
A．f<f(2)<f B．f<f(2)<f C．f<f<f(2) D．f(2)<f<f
5．函数的单调减区间为 （ ）
A． B．
C． D．
6．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值（ ）
A． B.
C. D.
7．已知函数，则等于（ ）
A．-1 B.0 C. 1 D. 2
8．tan70°cos10°(1－tan20°)的值为( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
9．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为( )
A. B. C. D.
10．.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．(－∞，0) B. C．(0，1) D．(0，＋∞)
11. 设且则 （ ）
A． B. C. D.
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，
若，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （90分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.计算定积分__________
14..设上的奇函数，且，则不等
式的解集为
15.对于函数给出下列四个命题：
①该函数是以为最小正周期的周期函数
②当且仅当时，该函数取得最小值是-1
③该函数的图象关于直线对称
④当且仅当时，
其中正确命题的序号是 （请将全部正确命题的序号都填上）
16. 已知函数与图象上存在关于轴对称
的点，则的取值范围是__________________________.
三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
已知函数，，且.
（1）求的值；
（2）若，，求.
18. .(本小题满分12分)
已知函数
(1)设ω＞0为常数，若在区间上是增函数，求ω的取值范围；
(2)设集合，,若A⊆B，求实数m的取值范围.
19．(本小题满分12分)
若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
20．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；
(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
21．(本小题满分12分)
函数的图象上有两点A（0，1）和B（1，0）
（Ⅰ）在区间（0，1）内，求实数a使得函数的图象在x=a处的切线平行于直线 AB；
（Ⅱ）设m>0，记M（m，），求证在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数
图象在x=b处的切线平行于直线AM.
22.(本小题满分12分)
已知函数．
（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的
取值范围；
（II）若，设，求证：当时，
不等式成立．
沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果
阶段验收高三（ 15 届）数学试题答案
一.选择题: DDBCB ADBCB CB
二.填空题: 13. 14. 15. ③④ 16.
17．（1）………………4
（2）………………10
18．解：(1)f(x) =……………………2
∵f(ωx)=2sinωx+1在上是增函数.
∴，
即…………………………………………………6
(2)由|f(x)-m|＜2得：-2＜f(x)-m＜2,
即 f(x)-2＜m＜f(x)+2.
∵A⊆B,∴当时，f(x)-2＜m＜f(x)+2恒成立
∴……………………………………………9
又时，
,
∴m∈(1，4)……………………………………………………………………12
19. 解：(1)由f(0)＝1，得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以解得
因此，f(x)＝x2－x＋1…………………………………………………………….6
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0得，m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．……………………………….12
20. 解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，即k＝1…………………………………………………2
(1)∵f(1)>0，∴a－>0，
又a>0且a≠1，∴a>1，f(x)＝ax－a－x，
∵f′(x)＝axln a＋a－x ln a＝(ax＋a－x)·ln a>0，
∴f(x)在R上为增函数．……………………………………………………………4
原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，
∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，
∴x>1或x<－4，
∴不等式的解集为{x|x>1，或x<－4}．…………………………………….6
(2)∵f(1)＝，∴a－＝，
即2a2－3a－2＝0，
∴a＝2或a＝－(舍去)，…………………………………………………8
∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.
令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，
即t(x)≥t(1)＝，
∴原函数变为w(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，
∴当t＝2时，w(t)min＝－2，
此时x＝log2(1＋)．
即g(x)在x＝log2(1＋)时取得最小值－2…………………………………………………………12
21. （Ⅰ）解：直线AB斜率kAB=－1
令
解得 …………………………………………………………………………4
（Ⅱ）证明：直线AM斜率
考察关于b的方程
即3b2－2b－m2+m=0
在区间（0，m）内的根的状况
令g(b)= 3b2－2b－m2+m，则此二次函数图象的对称轴为
而
g(0)=－m2+m=m(1－m)
g(m)=2m2－m－m(2m－1) ………………………………………………………8
∴（1）当内有一实根
（2）当内有一实根
（3）当内有一实根
综上，方程g(b)=0在区间（0，m）内至少有一实根，故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直线AM …………………………………………………12
22．解：（I），
∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，
∴当时，恒成立，
即恒成立，
∴在时恒成立，或在时恒成立，
∵，∴或 ……………………………………6
（II），
∵定义域是，，即
∴在是增函数，在实际减函数，在是增函数
∴当时，取极大值，
当时，取微小值，
∵，∴
设，则，
∴，∵，∴
∴在是增函数，∴
∴在也是增函数
∴，即，
而，∴
∴当时，不等式成立． ……………………………12
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