广东省实验中学2021届高三第一次阶段考试数学(理)-Word版含答案.docx

广东试验中学2021届高三阶段考试（一）
理 科 数 学
一．选择题(5*8=40分)
1．设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2． 的值为（ ）
A .-2 B .–l C. D .1
3．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则有（ ）
A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关关于点对称
C．函数的最小正周期为 D．函数在区间内单调递减
5．已知0<a<b<l．则（ ）
A. B. C. D.
6．已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 在原点四周的图象大致是（ ）

A B C D

7.已知函数 ，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

8．已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则下列的四个命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．

二．填空题（6*5=30分）
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必需作答。

xO
y
O

9.已知的值为______________.
10．如图是函数在一个周期内的图象，则阴影
部分的面积是__________.
11．若，则的最大值为 ．
12.已知函数，且，则当时，的取值范围是_______________.
13.已知的开放式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.

A
B
C
D
P
M
E
O1
O2
15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，，那么⊙O2的半径为 .

三.解答或证明题
16．（12分）已知函数．
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；
(Ⅱ) 已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．

17．(13分)
一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。
(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望。

18．（13分）
如图1，是直角△斜边上的高，沿把△的两部分折成直二面角
（如图2），于.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，与平面所成的角为，二面角的大小为，试用表示；
（Ⅲ）设，为的中点，在线段上是否存在一点，使得∥平面? 若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
D
图1
A
C
B
图2
B
C
A
D
F
E
P

19．(14分)如图，点P(0，−1)是椭圆C1：(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且相互垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
x
O
y
B
l1
l2
P
D
A

（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

20.（14分）如图,实线部分的月牙形公园是由圆上的一段优弧和圆上的一段劣弧围成,圆和圆的半径都是，点在圆上，现要在公园内建一块顶点都在圆上的多边形活动场地.
（1）如图甲，要建的活动场地为△，求活动场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形，求活动场地的最大面积；

21．（14分）已知，函数，其中．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）在函数的图像上取点 ，记线段PnPn+1的斜率为kn ，
．对任意正整数n，试证明：
（ⅰ）； （ⅱ）．

班别__________________ 姓名__________________ 学号
密 封 线 内 不 要 答 题
○…………………○…………………○…………………○…………………○…………………○…………………○………………○………………○………………○………………○
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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广东试验中学2021届高三阶段考试（一） 理科数学答卷
一、选择（每题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空（每题5分，共30分）
（一）必做题：
9. ； 10. ； 11. ；
12. ； 13. ；
（二）选做题：
14. ； 15. 。
16.（12分）
三、解答（6题，共80分）

17.（13分）

18.（13分）

19.（14分）

20.（14分）

班别__________________ 姓名__________________ 学号
密 封 线 内 不 要 答 题
○…………………○…………………○…………………○…………………○…………………○…………………○………………○………………○………………○………………○
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

21.（14分）

广东试验中学第一次阶段性考试理科数学参考答案及评分标准
一．选择题：AAAB DABC
二．填空题
9．.3； 10． ； 11．； 12. [，] ； 13.；
14． ； 15. .
三.解答或证明题
16．(12分)解：(Ⅰ)
…………………………………………3
∴ 的最小值为，最小正周期为. ………………5
（Ⅱ）∵ ， 即 …………6
∵ ，，∴ ，∴ ． ……8
∵ 共线，∴ ． ……………9
由正弦定理 ， 得 …………………10
∵ ，由余弦定理，得， 故 ……12
17．(13分)
（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是
…4分
（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率. …8分
随机变量听从二项分布,分布列如下 …12分

0
1
2
3

…13分
18．（13分）（Ⅰ）∵，∴是二面角的平面角.又∵二面角是直二面角，∴,∴平面，∴，又，∴平面，∴.…………………………………4分

B
C
A
D
F
E
P
M
（Ⅱ）由（Ⅰ）
,.
又，∴.…………………8分
(Ⅲ)连接交于点，连接,则∥.
∵,∴,∴为的中点，而为的中点，∴为的重心,
∴,∴.即在线段上是否存在一点，使得∥，
此时.…………………………………………13分(也可建系完成)
x
O
y
B
l1
l2
P
D
A

19．(14分)

（Ⅰ）由题意得：
……………..2
椭圆C的方程为：
． ………………………..4
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为
y=kx−1． ……………………….5
又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离
d=， …………………6
所以
|AB|=2=2．……………7
又l1^l2，故直线l2的方程为
x+ky+k=0．
由

　 消去y，整理得
(4+k2)x2+8kx=0
故
x0=−．
所以
|PD|=． …………………..10
设△ABD的面积为S，则S=|AB|×|PD|=，
所以
S=£=， ………………12
当且仅当k=±时取等号 ………………..13
所以所求直线l1的方程为y=±x−1 ……………………………..14
20.（14分）
解：（Ⅰ）过作于，
由题意，在月牙形公园里，与圆只能相切或相离；
左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有，
当且仅当切圆于时，上面两个不等式中等号同时成立。 （4分）
此时，场地面积的最大值为(km2) …（5分）
（Ⅱ）左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，以为直径向左边作半圆，此半圆包含弓形，半圆的内接等腰梯形的面积的最大值不小于弓形内接等腰梯形的面积的最大值，要求场地面积的最大值，只需考虑切圆于时的情形， …… （7分）

设，则有
…… （10分）

21．（14分）
解：（Ⅰ）时， ，求导可得
……………3分
所以，在单调递增，故的最小值是．…………5分

（Ⅱ）依题意，． ……………6分
（ⅰ）由（Ⅰ）可知，若取，则当时，即．
于是 ，即知．…………8分
所以 ． ……………9分
（ⅱ）取，则，求导可得

当时，，故在单调递减．
所以，时，，即．……………12分
留意到，对任意正整数，，于是
，即知． ……………13分
所以 ． ……………14分