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山西高校附中2022年高三第一学期12月月考
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一． 选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）
1. 设不等式的解集为，函数的定义域为，则
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的虚部位
A. B. C.1 D.
3. 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是
A. 若不是偶数，则都不是偶数 B.若不是偶数，则不都是偶数
C.若都不是偶数，则不是偶数 D.若不都是偶数，则不是偶数
4.已知等差数列且，则数列的前13项和为
A.24 B.39 C.52 D.104
5. 若抛物线的焦点坐标是（0,1），则
A.1 B. C.2 D.
6. 已知函数在处取得最大值，则函数是
A.偶函数且它的图像关于点对称B.偶函数且它的图像关于点对称
C.奇函数且它的图像关于点对称D.奇函数且它的图像关于点对称
7. 执行如图所示的程序框图，若，取，则输出的值为
A. B. C. D.
8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是
9.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为
A. B. C. D.
10.已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数的图像上，那么实数的取值范围为
A. B. C. D.
11.已知函数，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12. 已知椭圆C:的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二． 选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量，假如向量与垂直，则的值为
14.有5种不同的颜色可供使用.将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1,2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有 种.
15.圆关于直线对称，则的取值范围是
16. 函数，则此函数的全部零点之和等于
三． 解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.）
17.如图，在中，，，点在边上，，，为垂足．
(1)若的面积为，求的长；
(2)若，求角的大小．
18. 已知函数为偶函数，数列满足，且（1）设，证明：数列为等比数列（2）设，求数列的前项和
19.如图，在三棱锥中，
（1）求证：平面⊥平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
A
B
C
（3）若动点在底面三角形ABC上，二面角的余弦值为，求的最小值.
20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于 ，它的两个顶点恰好是双曲线的焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两恻的动点，
①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；
②当运动时，满足于，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.
21. 已知函数的定义域，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。把全部由“一阶比增函数”组成的集合记为，把全部由“二阶比增函数”组成的集合记为
（1）已知函数，若且，求实数的取值范围
（2）已知，且存在常数，使得对任意的，都有，求的最小值
请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分）
22.己知抛物线的顶点M到直线(t为参数)的距离为1
（1）求；
（2）若直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，求的值
23. 设，其中
（1） 当时，求不等式的解集
（2） 若时，恒有，求的取值范围
BABCD BADAB AD
13.已知向量，假如向量与垂直，则的值为
14.（理科）有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1，2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有 1020 种.
（文科）在三棱锥中，侧棱两两垂直，，则三棱锥的外接球的表面积为
15.圆关于直线对称，则的取值范围是
16.函数，则此函数的全部零点之和等于 8
17.如图，在中，，，点在边上，，，为垂足．
(1)若的面积为，求的长；
(2)若ED＝，求角的大小．【解析】(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sin B＝，又BC＝2，sin B＝，∴BD＝，cos B＝.
在△BCD中，由余弦定理，得
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos B＝22＋2－2×2××＝. ∴CD＝.
∵CD＝AD＝，在△BCD中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，解得cos A＝，所以A＝
18.已知函数为偶函数，数列满足，且（1）设，证明：数列为等比数列（2）设，求数列的前项和
19.（理科）如图，在三棱锥中，
A
B
C
（1）求证：平面⊥平面
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值.
（1）取AC中点O,由于AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB
∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面 4分
（2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ), 5分
∴设平面PBC的法向量，
由得方程组
，取 6分
∴
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为. 8分
（3）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为 ∵又由于
∴ 取
∴ ∴ 11分
∴B点到AM的最小值为垂直距离.
（文科）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，
为的中点，
（1）求证：平面；
（2）过点作于点，求证：直线平面
（3）若四棱锥的体积为3，求的长度
【解析】(1) 连接设,连接OD,证明即可.
（2）解本题的关键是证明和即可.
(3)设,然后把高BE用x表示出来,再依据,利用体积公式建立关于x的方程即可解出x的值
(1)证明:连接设,连接 1分
是平行四边形, 点O是的中点,
是AC的中点, 是的中位线,
2分
又
AB1//平面BC1D 4分
(2)
6分,
又 7分
直线BE平面 8分
(2)的解法2:
5分
直线BE平面 8分
(3)由(2)知BE的长度是四棱锥B—AA1C1D的体高
设 9分
10分
11分
20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆C的方程；
（2）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
试题解析：解：(1）设椭圆的方程为，则.由，得∴椭圆C的方程为.
（2）①解：设，直线的方程为， 代入，
得 由，解得
由韦达定理得. 四边形的面积∴当，. …… 4分
②解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为
则的斜率为，的直线方程为 由
（1）代入（2）整理得
同理的直线方程为，可得
∴
所以的斜率为定值. …………12分.
22. 已知函数的定义域，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”。把全部由“一阶比增函数”组成的集合记为，把全部由“二阶比增函数”组成的集合记为
（1） 已知函数，若且，求实数的取值范围
（2） 已知，且存在常数，使得对任意的，都有，求的最小值
22.己知抛物线的顶点M到直线(t为参数)的距离为1
（1）求；
（2）若直线与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求的值
试题解析：（1）M(0，m),直线l的一般方程
M到直线的距离为，解得或 4分
(2)直线与抛物线相交于A、B两点，故．
将直线l的一个标准参数方程为代入抛物线得，
故,= 10分
24. 设，其中
（3） 当时，求不等式的解集
（4） 若时，恒有，求的取值范围
（1） (2)
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