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课时提升作业(十七)
一、选择题
1.(2021·贵港模拟)若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且S11=π,则tana6的值是( )
(A)- (B) (C)± (D)
2.(2021·太原模拟)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2,n∈N*,则数列{}的前10项和为( )
(A)(410-1) (B)(410-1)
(C)(49-1) (D)(49-1)
3.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )
(A)21 (B)20 (C)19 (D)18
4.(2021·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,问最小一份为( )
(A) (B)
(C) (D)
5.已知数列{an}满足:a1=1,an>0,-=1(n∈N*),那么使an<5成立的n的最大值为( )
(A)4 (B)5 (C)24 (D)25
6.已知数列{an}为等差数列,公差为d,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn<0的n的最小值为( )
(A)11 (B)19 (C)20 (D)21
7.在1到104之间全部形如2n和3n(n∈N*)的数,它们各自之和的差的确定值
为( )
(A)1631 (B)6542 (C)15340 (D)17424
8.(力气挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2022年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2022年11月份发觉两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2022年6月份的月产值大小,则有( )
(A)甲的产值小于乙的产值
(B)甲的产值等于乙的产值
(C)甲的产值大于乙的产值
(D)不能确定
二、填空题
9.设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{}的前n项和Sn等于 .
10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此连续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
11.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an= .
12.(力气挑战题)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N*,若数列{an}是等比数列,则实数t= .
三、解答题
13.(2021·南宁模拟)定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>1.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)是定义域上的增函数.
(2)数列{an}满足a1=a≠0,f(an+1)=f(aan)f(a-1)(n=1,2,3,…),求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.
14.(2021·桂林模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.
(1)求an与bn.
(2)设cn=3bn-λ·(λ∈R),若{cn}满足:cn+1>cn对任意的n∈N*恒成立,求λ的取值范围.
15.(1)若数列{an+1-αan}是公比为β的等比数列,证明:数列{an+1-βan}是公比为α的等比数列(a2-αa1≠0,a2-βa1≠0,αβ≠0).
(2)若an+1-4an=3n,a1=1,
①求an;
②证明:++…+<.
16.(力气挑战题)甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A,B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个能容纳1千克药水的药瓶,他们从A,B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行了n次后,A喷雾器中药水的浓度为an%,B喷雾器中药水的浓度为bn%.
(1)证明an+bn是一个常数.
(2)求an与an-1的关系式.
(3)求an的表达式.
答案解析
1.【解析】选A.由已知得,S11==11a6=,故a6=,所以tan=-.
2.【解析】选A.依据已知an=2n-1,bn=2n-1,
所以==22n-2,所以数列{}的前10项和等于20+22+…+218==(410-1).
3.【解析】选B.由a1+a3+a5=105得3a3=105,即a3=35,由a2+a4+a6=99得3a4=99即a4=33,
∴d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n,
由得n=20.
4.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.
由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=
7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=,
所以,最小的一份为a-2d=20-=.
5.【解析】选C.由a1=1,an>0,-=1(n∈N*)可得=n,即an=,要使an<5,则n<25,故选C.
6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“<-1”及“Sn有最大值”如何使用,从而列出关于a1,d的不等式组,求出的取值范围,进而求出访得Sn<0的n的最小值,或者依据等比数列的性质求解.
【解析】选C.方法一:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,
由得-<<-9.
∵Sn=na1+d=n2+(a1-)n,
由Sn=0得n=0或n=1-.
∵19<1-<20,
∴Sn<0的解集为{n∈N*|n>1-},
故使得Sn<0的n的最小值为20.
方法二:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,
由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0,
由a10+a11<0知S20<0,故选C.
7.【解析】选B.由2n<104,得n<≈≈13.29,故数列{2n}在1到104之间的项共有13项,它们的和S==16382;同理数列{3n}在1到104之间的项共有8项,它们的和T==9840,∴|S-T|=6542.
8.【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.
9.【解析】∵y'=nxn-1-(n+1)xn,
∴y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n,
∴=2n,∴Sn=2n+1-2.
答案:2n+1-2
10.【解析】设开头纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作1次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an·,
∴an=a1qn-1=()n,∴()n<,得n≥4.
答案:4
【方法技巧】建模解数列问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最终通过建立的关系求出相关量.
11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1,
∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,
an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1,
a2=a1+1+1,a1=2=1+1,
将以上各式相加得:
an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1
=+n+1
=+n+1
=+1.
答案:+1
12.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的式子,降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的式子,两个式子相减后得出an+1,an的关系,可得数列{an}中,a2,a3,a4,…为等比数列,只要等于上面数列的公比即可.
【解析】由题意得an+1=2Sn+1,
an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时,{an}是等比数列,
要使n≥1时,{an}是等比数列,则只需
==3,从而t=1.
答案:1
13.【解析】(1)令x=1,y=0得f(1)=f(1)f(0),
∵f(1)>0,故f(0)=1.
且对任意x>0,有-x<0,
故f(x-x)=f(x)f(-x)=f(0)=1>0.
∵x>0时,f(x)>1,故f(-x)>0.
故对任意x∈R均有f(x)>0.任取x1,x2∈R,
且x1<x2,
则=
==f(x2-x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1,故>1,
即f(x2)>f(x1).
∴f(x)是定义域上的增函数.
(2)由a1=a≠0,f(an+1)=f(aan)f(a-1)得
f(an+1)=f(aan+a-1).
∵f(x)是R上的增函数,故an+1=aan+a-1.
即an+1+1=a(an+1).
故{an+1}是以a+1为首项,以a为公比的等比数列.
故an+1=(a+1)·an-1,
故an=(a+1)an-1-1.
所以,当a=1时,an=1,Sn=n,
当a≠1时,Sn=-n.
14.【解析】(1)由已知可得
消去a2得:q2+q-12=0,
解得q=3或q=-4(舍),
∴a2=6,d=3,从而an=3n,bn=3n-1.
(2)由(1)知:cn=3bn-λ·=3n-λ·2n.
∵cn+1>cn对任意的n∈N*恒成立,
即:3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立,
整理得:λ·2n<2·3n对任意的n∈N*恒成立,
即:λ<2·()n对任意的n∈N*恒成立.
设f(x)=2·()x,
∵f(x)=2·()x在区间[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)min=2·=3,∴λ<3,
∴λ的取值范围为(-∞,3).
15.【解析】(1)由于数列{an+1-αan}是公比为β的等比数列,
故an+1-αan=β(an-αan-1)=βan-αβan-1
∴an+1-βan=α(an-βan-1).
且a2-βa1≠0,α≠0.
故数列{an+1-βan}是公比为α的等比数列.
(2)①由于an+1-4an=3n,a1=1,数列{an+1-4an}是公比为3的等比数列,
即结合(1)的结论可知:
数列{an+1-3an}是公比为4的等比数列,a2-3a1=4,
所以an+1-3an=4n,
故an=4n-3n.
②由于an=4n-3n=4n-1+3·4n-1-3n
=4n-1+3(4n-1-3n-1)≥4n-1,
所以≤,
故++…+≤++…+==-·<.
16.【思路点拨】(1)明显不论如何操作,两种农药中含有的溶质是不变的,这是问题的实际应用.(2)建立第n-1次操作后两种药水的浓度和第n次操作后A喷雾器中药水浓度的关系式.(3)利用(1)(2)的结果求解递推数列.
【解析】(1)开头时,A中含有10×12%=1.2千克的农药,B中含有10×6%=0.6千克的农药,n次操作后,A中含有10×an%=0.1an千克的农药,B中含有10×bn%=0.1bn千克的农药,它们的和应与开头时农药的质量和相等,从而有0.1an+0.1bn=1.2+0.6,所以an+bn=18(常数).
(2)第n次操作后,A中10千克药水中农药的质量具有关系式:9×an-1+1×bn-1=10an,
由(1)知bn-1=18-an-1,
代入化简得an=an-1+.
(3)令an+λ=(an-1+λ),利用待定系数法可求出
λ=-9,
所以an-9=(an-1-9),可知数列{an-9}是以a1-9为首项,为公比的等比数列,
由an=an-1+得,a1=×12+==11.4,
由等比数列的通项公式知:
an-9=(a1-9)()n-1=2.4()n-1=()n-1
=3()n,
所以an=3()n+9.
【变式备选】已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门打算每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单位:m2)的旧住房.
(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式.
(2)假如第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取1.15=1.6)
【解析】(1)第1年末的住房面积a·-b=1.1a-b(m2),
第2年末的住房面积
(a·-b)·-b=a·()2-b(1+)
=1.21a-2.1b(m2).
(2)第3年末的住房面积
[a·()2-b(1+)]-b
=a·()3-b[1++()2],
第4年末的住房面积
a·()4-b[1++()2+()3],
第5年末的住房面积
a·()5-b[1++()2+()3+()4]
=1.15a-b=1.6a-6b,
依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得b=,
所以每年拆除的旧房面积为m2.
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