2021高考数学(文理通用)一轮课时作业24-平面向量应用举例.docx

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课时提升作业(二十四)
平面对量应用举例
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·舟山模拟)已知非零向量a,b,满足a⊥b,则函数f(x)=(ax+b)2(x∈R)是(　　)
A.既是奇函数又是偶函数
B.非奇非偶函数
C.偶函数
D.奇函数
【解析】选C.由于a⊥b,所以a·b=0,所以f(x)=(ax+b)2=|a|2x2+|b|2,所以f(x)=(ax+b)2为偶函数.
2.(2022·石家庄模拟)已知向量OA→=(2,2),OB→=(4,1),在x轴上一点P使AP→·BP→有最小值,则点P的坐标为(　　)
A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)
【解析】选C.设点P(x,0),则AP→=(x-2,-2),BP→=(x-4,-1),故AP→·BP→=
(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).
3.若O是△ABC的重心,则OA→+OB→+OC→等于(　　)
A.0 B.AB→ C.BC→ D.CO→
【解析】选A.如图,O是△ABC三边中线的交点,即D,E,F分别是所在边的中点,所以OB→+OC→=2OD→,由三角形重心的性质知
|OA→|=2|OD→|,即OA→=-2OD→.故OA→+OB→+OC→=-2OD→+2OD→=0.
【加固训练】
已知O是△ABC所在平面内的一点,且OA→+OB→+OC→=0,则点O是(　　)
A.BC边的中点 B.BC边所在直线上的点
C.△ABC的重心 D.△ABC的外心
【解析】选C.如图,设D是BC边的中点,则OB→+OC→=2OD→,由于OA→+OB→+OC→=0,所以OA→+2OD→=0,即OA→=-2OD→,即O在AD上,设E是AB边的中点,同理可得O在CE上,所以O是△ABC三边中线的交点,即O是△ABC的重心.
4.(2022·杭州模拟)过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),则MA→·MB→=(　　)
A.532 B.52 C.332 D.32
【解析】选D.过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),由于|OM|=2,圆的半径为1,所以|MA|=|MB|=3,且MA→与MB→的夹角为60°,故MA→·MB→=|MA→||MB→|cos60°=3×3cos60°=32,选D.
5.(2022·铜陵模拟)在△ABC中,AB→·BC→=3,△ABC的面积S∈32,32,则AB→与BC→夹角的取值范围是(　　)
A.π4,π3 B.π6,π4
C.2π3,3π4 D.34π,56π
【解析】选B.易知向量AB→与BC→的夹角为π-B,又AB→·BC→=|AB→||BC→|cos(π-B)=3,即|AB→||BC→|cosB=-3,又△ABC的面积S=12|AB→||BC→|sinB=
-32·sinBcosB=-32tanB,由S∈32,32得
-1≤tanB≤-33,由于B是△ABC的内角,
所以3π4≤B≤5π6,故π6≤π-B≤π4.
【误区警示】解答本题易误选D,出错的缘由是误以为AB→与BC→的夹角就是B,忽视了向量的方向.
6.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+12=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相交且过圆心 D.相离
【思路点拨】先由向量a与b的夹角为60°,推出α,β满足的关系,再求圆心到直线的距离d,比较d与半径r的大小确定直线与圆的位置关系.
【解析】选A.由题意,得cos60°=,即6cosαcosβ+6sinαsinβ4cos2α+4sin2α·9cos2β+9sin2β=12,所以cos(α-β)=12,由于圆心(cosβ,-sinβ)到直线xcosα-ysinα+12=0的距离d=cosαcosβ+sinαsinβ+12cos2α+sin2α=cos(α-β)+12=1,又由于圆的半径为1,所以直线与圆相切.
7.在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若AC→=λAE→+μAF→(λ,μ∈R),则log32(λμ)的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】选A.如图,令AB→=a,AD→=b,则AC→=a+b,①
AE→=AD→+DE→=12a+b,
AF→=AB→+BF→=a+12b,
所以AC→=λAE→+μAF→=+μ=12λ+μa+λ+12μb,②
由于a,b不共线,由①,②得12λ+μ=1,λ+12μ=1,解得λ=μ=23,
故log 32(λμ)=log 32232=2log 3223=-2.
8.(2022·大连模拟)如图,在正方形ABCD中,已知AB=2,M为BC的中点,若N为正方形内(含边界)任意一点,则AM→·AN→的取值范围是(　　)
A.[0,2] B.[2,4]
C.[0,6] D.[2,6]
【思路点拨】建系,用向量的坐标运算及线性规划的学问解答.
【解析】选C.
以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则AM→=(2,1),
设N(x,y),
则AN→=(x,y),
0≤x≤2,0≤y≤2,
AM→·AN→=(2,1)·(x,y)=2x+y.
不等式组0≤x≤2,0≤y≤2所表示的平面区域如图,
所以,当x=y=0时,AM→·AN→的最小值为0,
当x=2,y=2时,AM→·AN→的最大值为6,
故AM→·AN→的取值范围是[0,6].
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,M为DC的中点,则AM→·AB→的值为　　　　.

【解析】以点A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,由于菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,M为DC的中点,故点A(0,0),则B(2,0),C(3,3),D(1,3),M(2,3).所以AM→·AB→=(2,3)·(2,0)=4.
答案:4
10.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为　　　　.
【解析】如图所示,渡船速度为OB→,水流速度为OA→,

船实际垂直过江的速度为OD→,依题意知|OA→|=252,|OB→|=25.
由于OD→=OB→+OA→,
所以OD→·OA→=OB→·OA→+OA→ 22,
由于OD→⊥OA→,所以OD→·OA→=0,
所以25×252cos(∠BOD+90°)+2522=0,
所以cos(∠BOD+90°)=-12,所以sin∠BOD=12,
所以∠BOD=30°,所以航向为北偏西30°.
答案:北偏西30°
11.(2022·湖州模拟)已知向量a=-12,32,OA→=a-b,OB→=a+b,若△OAB是等边三角形,则△OAB的面积为　　　　.
【解析】由于a=-12,32,OA→=a-b,OB→=a+b,所以OA→+OB→=(a-b)+(a+b)=
2a=(-1,3),所以|OA→+OB→|=(-1)2+(3)2=2.所以等边三角形OAB的高为1,边长为23,因此其面积为34×232=33.
答案:33
12.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx在R上有极值,设向量a,b的夹角为θ,则θ的取值范围是　　　　.
【思路点拨】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.
【解析】由于f′(x)=x2+|a|x+a·b,
由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+a·b=0有两个不同实数根,所以
Δ=|a|2-4a·b>0,由于|a|=2|b|≠0,所以4|b|2-4×2|b||b|cosθ>0,即cosθ<12,由于θ∈[0,π],y=cosx在[0,π]上是减函数,所以π3<θ≤π.
答案:π3,π
【误区警示】解答本题易误填π3,π,出错的缘由是由题意误得关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实数根,即Δ≥0.事实上,当Δ=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.

三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知向量m=(cosx,sinx),n=22,22.
(1)若m⊥n,求|m-n|.
(2)设f(x)=m·n,若f(α)=35,求f2α+3π4的值.
【解析】(1)由m⊥n,则m·n =0,故|m - n|2=m 2+ n 2-2 mn =1+1=2,所以
|m- n|=2.
(2)f(x)= m·n=22cosx+22sinx=sinx+π4,由f(α)=35,故cosα+sinα=325.
平方后得,sin2α+cos2α+2cosαsinα=1825,
所以sin2α=-725,
f2α+3π4=sin(2α+π)=-sin2α=725.
【加固训练】
已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),
C(cosα,sinα),α∈π2,3π2.
(1)若|AC→|=|BC→|,求角α的值.
(2)若AC→·BC→=-1,求2sin2α+sin2α1+tanα的值.
【解析】(1)由于AC→=(cosα-3,sinα),
BC→=(cosα,sinα-3),
所以AC→ 22=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,
BC→ 22=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα,
由|AC→|=|BC→|,可得AC→ 22=BC→ 22,
即10-6cosα=10-6sinα,得sinα=cosα.
又由于α∈π2,3π2,
所以α=5π4.
(2)由AC→·BC→=-1,
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,
所以sinα+cosα=23.
两边分别平方,得1+2sinαcosα=49,
所以2sinαcosα=-59.
所以2sin2α+sin2α1+tanα
=2sin2α+2sinαcosα1+sinαcosα
=2sinαcosα=-59.
14.(2022·长沙模拟)已知向量a=(12,12sinx+32cosx)与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).
(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.
(2)已知锐角△ABC的三个内角分别为A,B,C,若有fA-π3=3,边BC=7,sinB=217,求△ABC的面积.
【解析】(1)由于a与b共线,
所以12y-12sinx+32cosx=0,
则y=f(x)=2sinx+π3,
所以f(x)的最小正周期T=2π,
当x=2kπ+π6,k∈Z时,f(x)max=2.
(2)由于fA-π3=3,
所以2sinA-π3+π3=3,
所以sinA=32.
由于0<A<π2,所以A=π3.
由正弦定理得BCsinA=ACsinB,
又sinB=217,
所以AC=BCsinBsinA=2,且sinC=32114,
所以S△ABC=12AC·BC·sinC=332.
15.(力气挑战题)已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且QP→·QF→=FP→·FQ→.
(1)求动点P的轨迹曲线C的方程.
(2)设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M,且与直线x=-1相交于点N,试问:在x轴上是否存在一个定点E,使得以MN为直径的圆恒过此定点E?若存在,求出定点E的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设点P(x,y),则Q(-1,y),
由QP→·QF→=FP→·FQ→,得
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C:y2=4x.
(2)由y=kx+m,y2=4x得k2x2+(2km-4)x+m2=0,
由Δ=0,得km=1,从而有M(m2,2m),
N-1,-1m+m,
设点E(x,0),使得ME⊥NE,
则(x-m2)(x+1)+(-2m)1m-m=0,
(1-x)m2+x2+x-2=0,得x=1,
所以存在一个定点E(1,0)符合题意.
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