2021高考数学(文理通用)一轮课时作业24-平面向量应用举例.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十四)平面对量应用举例(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2022舟山模拟)已知非零向量a,b,满足ab,则函数f(x)=(ax+b)2(xR)是()A.既是奇函数又是偶函数B.非奇非偶函数C.偶函数D.奇函数【解析】选C.由于ab,所以ab=0,所以f(x)=(ax+b)2=|a|2x2+|b|2,所以f(x)=(ax+b)2为偶函数.2.(2022石家庄模拟)已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上一点P使APBP有最小值,则点P的坐标为()A.(-3,0) B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【解析】选C.设点P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),故APBP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时P(3,0).3.若O是ABC的重心,则OA+OB+OC等于()A.0B.ABC.BCD.CO【解析】选A.如图,O是ABC三边中线的交点,即D,E,F分别是所在边的中点,所以OB+OC=2OD,由三角形重心的性质知|OA|=2|OD|,即OA=-2OD.故OA+OB+OC=-2OD+2OD=0.【加固训练】已知O是ABC所在平面内的一点,且OA+OB+OC=0,则点O是()A.BC边的中点B.BC边所在直线上的点C.ABC的重心D.ABC的外心【解析】选C.如图,设D是BC边的中点,则OB+OC=2OD,由于OA+OB+OC=0,所以OA+2OD=0,即OA=-2OD,即O在AD上,设E是AB边的中点,同理可得O在CE上,所以O是ABC三边中线的交点,即O是ABC的重心.4.(2022杭州模拟)过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),则MAMB=()A.532B.52C.332D.32【解析】选D.过点M(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线MA,MB(A,B为切点),由于|OM|=2,圆的半径为1,所以|MA|=|MB|=3,且MA与MB的夹角为60,故MAMB=|MA|MB|cos60=33cos60=32,选D.5.(2022铜陵模拟)在ABC中,ABBC=3,ABC的面积S32,32,则AB与BC夹角的取值范围是()A.4,3B.6,4C.23,34D.34,56【解析】选B.易知向量AB与BC的夹角为-B,又ABBC=|AB|BC|cos(-B)=3,即|AB|BC|cosB=-3,又ABC的面积S=12|AB|BC|sinB=-32sinBcosB=-32tanB,由S32,32得-1tanB-33,由于B是ABC的内角,所以34B56,故6-B4.【误区警示】解答本题易误选D,出错的缘由是误以为AB与BC的夹角就是B,忽视了向量的方向.6.已知向量a=(2cos,2sin),b=(3cos,3sin),a与b的夹角为60,则直线xcos-ysin+12=0与圆(x-cos)2+(y+sin)2=1的位置关系是()A.相切B.相交C.相交且过圆心D.相离【思路点拨】先由向量a与b的夹角为60,推出,满足的关系,再求圆心到直线的距离d,比较d与半径r的大小确定直线与圆的位置关系.【解析】选A.由题意,得cos60=,即6coscos+6sinsin4cos2+4sin29cos2+9sin2=12,所以cos(-)=12,由于圆心(cos,-sin)到直线xcos-ysin+12=0的距离d=coscos+sinsin+12cos2+sin2=cos(-)+12=1,又由于圆的半径为1,所以直线与圆相切.7.在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD和BC的中点,若AC=AE+AF(,R),则log32()的值为()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选A.如图,令AB=a,AD=b,则AC=a+b,AE=AD+DE=12a+b,AF=AB+BF=a+12b,所以AC=AE+AF=+=12+a+12b,由于a,b不共线,由,得12+=1,+12=1,解得=23,故log32()=log32232=2log3223=-2.8.(2022大连模拟)如图,在正方形ABCD中,已知AB=2,M为BC的中点,若N为正方形内(含边界)任意一点,则AMAN的取值范围是()A.0,2B.2,4C.0,6D.2,6【思路点拨】建系,用向量的坐标运算及线性规划的学问解答.【解析】选C.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则AM=(2,1),设N(x,y),则AN=(x,y),0x2,0y2,AMAN=(2,1)(x,y)=2x+y.不等式组0x2,0y2所表示的平面区域如图,所以,当x=y=0时,AMAN的最小值为0,当x=2,y=2时,AMAN的最大值为6,故AMAN的取值范围是0,6.二、填空题(每小题5分,共20分)9.如图,菱形ABCD的边长为2,A=60,M为DC的中点,则AMAB的值为.【解析】以点A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,由于菱形ABCD的边长为2,A=60,M为DC的中点,故点A(0,0),则B(2,0),C(3,3),D(1,3),M(2,3).所以AMAB=(2,3)(2,0)=4.答案:410.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.【解析】如图所示,渡船速度为OB,水流速度为OA,船实际垂直过江的速度为OD,依题意知|OA|=252,|OB|=25.由于OD=OB+OA,所以ODOA=OBOA+OA22,由于ODOA,所以ODOA=0,所以25252cos(BOD+90)+2522=0,所以cos(BOD+90)=-12,所以sinBOD=12,所以BOD=30,所以航向为北偏西30.答案:北偏西3011.(2022湖州模拟)已知向量a=-12,32,OA=a-b,OB=a+b,若OAB是等边三角形,则OAB的面积为.【解析】由于a=-12,32,OA=a-b,OB=a+b,所以OA+OB=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,3),所以|OA+OB|=(-1)2+(3)2=2.所以等边三角形OAB的高为1,边长为23,因此其面积为34232=33.答案:3312.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=13x3+12|a|x2+abx在R上有极值,设向量a,b的夹角为,则的取值范围是.【思路点拨】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.【解析】由于f(x)=x2+|a|x+ab,由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+ab=0有两个不同实数根,所以=|a|2-4ab0,由于|a|=2|b|0,所以4|b|2-42|b|b|cos0,即cos12,由于0,y=cosx在0,上是减函数,所以3.答案:3,【误区警示】解答本题易误填3,出错的缘由是由题意误得关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实数根,即0.事实上,当=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知向量m=(cosx,sinx),n=22,22.(1)若mn,求|m-n|.(2)设f(x)=mn,若f()=35,求f2+34的值.【解析】(1)由mn,则mn =0,故|m - n|2=m 2+ n 2-2 mn =1+1=2,所以|m- n|=2.(2)f(x)= mn=22cosx+22sinx=sinx+4,由f()=35,故cos+sin=325.平方后得,sin2+cos2+2cossin=1825,所以sin2=-725,f2+34=sin(2+)=-sin2=725.【加固训练】已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos,sin),2,32.(1)若|AC|=|BC|,求角的值.(2)若ACBC=-1,求2sin2+sin21+tan的值.【解析】(1)由于AC=(cos-3,sin),BC=(cos,sin-3),所以AC22=(cos-3)2+sin2=10-6cos,BC22=cos2+(sin-3)2=10-6sin,由|AC|=|BC|,可得AC22=BC22,即10-6cos=10-6sin,得sin=cos.又由于2,32,所以=54.(2)由ACBC=-1,得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1,所以sin+cos=23.两边分别平方,得1+2sincos=49,所以2sincos=-59.所以2sin2+sin21+tan=2sin2+2sincos1+sincos=2sincos=-59.14.(2022长沙模拟)已知向量a=(12,12sinx+32cosx)与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A,B,C,若有fA-3=3,边BC=7,sinB=217,求ABC的面积.【解析】(1)由于a与b共线,所以12y-12sinx+32cosx=0,则y=f(x)=2sinx+3,所以f(x)的最小正周期T=2,当x=2k+6,kZ时,f(x)max=2.(2)由于fA-3=3,所以2sinA-3+3=3,所以sinA=32.由于0A2,所以A=3.由正弦定理得BCsinA=ACsinB,又sinB=217,所以AC=BCsinBsinA=2,且sinC=32114,所以SABC=12ACBCsinC=332.15.(力气挑战题)已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且QPQF=FPFQ.(1)求动点P的轨迹曲线C的方程.(2)设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M,且与直线x=-1相交于点N,试问:在x轴上是否存在一个定点E,使得以MN为直径的圆恒过此定点E?若存在,求出定点E的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)设点P(x,y),则Q(-1,y),由QPQF=FPFQ,得(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简得C:y2=4x.(2)由y=kx+m,y2=4x得k2x2+(2km-4)x+m2=0,由=0,得km=1,从而有M(m2,2m),N-1,-1m+m,设点E(x,0),使得MENE,则(x-m2)(x+1)+(-2m)1m-m=0,(1-x)m2+x2+x-2=0,得x=1,所以存在一个定点E(1,0)符合题意.关闭Word文档返回原板块