【1对1】2021年高中数学学业水平考试专题综合检测-模拟试卷(五).docx

5　高中学业水平考试《数学》模拟试卷(五)
一、选择题(本大题共25小题，第1～15题每小题2分，第16～25题每小题3分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1. 设集合A＝{0，1，2，4，5，7}，集合B＝{1，3，6，8，9}，集合C＝{3，7，9}，则集合(A∩B)∪C等于(　　)
A. {0，1，2，6，9} B. {3，7，9} C. {1，3，7，9} D. {3，6，7，9}
2. 下列各组函数中，表示相同函数的是(　　)
A. y＝与y＝1 B. y＝x与y＝()2
C. y＝x＋2与y＝ D. y＝|x|与y＝
3. 已知cos α＝，则cos 2α等于(　　)
A. B. － C. D. －
4. 函数y＝4sin 2x是(　　)
A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为π的奇函数 D. 周期为π的偶函数
5. 在空间下列命题中正确的是(　　)
A. 同平行于同一个平面的两条直线平行 B. 垂直于同始终线的两条直线平行
C. 平行于同始终线的两条直线平行 D. 与同一个平面成等角的两条直线平行
6. “两条直线a，b为异面直线”是“直线a，b不相交”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. cos 300°的值等于(　　)
A. B. － C. D. －
8. 设a＝0.7－0.1，b＝0.7－0.2，c＝log30.7，则下列结果正确的是(　　)
A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. a＜b＜c D. b＜a＜c
9. 设a∈R，则“a>1”是“<1”的(　　)
A. 充分不必要条件　 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 在△ABC中，已知a＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，则b等于(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 2
11. 直线3x＋4y＝0与圆(x＋3)2＋(y－4)2＝9的位置关系是(　　)
A. 相切 B. 相离
C. 相交但不过圆心 D. 相交且通过圆心
12. 已知向量a＝(1，2)，b＝(－4，x)，且a⊥b，则x的值是(　　)
A. －8 B. －2 C. 2 D. 8
13. 已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等，则侧棱与底面所成的角等于(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°
14. 将y＝sin x的图象上全部点向左平移个单位长度，再把所得图象上个点的横坐标扩大到原来的2倍，则得到的图象所对应的函数解析式为(　　)
A. y＝sin(2x＋) B. y＝sin(－)
C. y＝sin(－) D. y＝sin(＋)
15. 若偶函数y＝f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列各式成立的是(　　)
A. f()>f(－) B. f(－2)>f(3)
C. f(3)<f(π) D. f(－)<f()
16. 点P(2，5)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　)
A. (6，－3) B. (3，－6) C. (－6，－3) D. (－6，3)
17. 已知两定点F1(5，0)，F2(－5，0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之差的确定值是6，则该曲线的方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
18. 若经过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　)
A. 4 B. 1 C. 1或3 D. 1或4
19. 若从长方体一个顶点动身的三个面的面积分别为2，3，6，则它的体积为(　　)
A. 6 B. 36 C. D. 2
20. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a10＋a12为确定的常数，则下列各式中，也为确定的常数是(　　)
A. S13 B. S15 C. S17 D. S19
21. 下列命题正确的是(　　)
A. 过一点作一条直线的平行平面有很多多个
B. 过一点作始终线的平行直线有很多条
C. 过平面外一点，与该平面平行的直线有很多条
D. 过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行
22. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14则S4n等于(　　)
A. 80 B. 30 C. 26 D. 16
23. 过点(1，2)，且与原点距离最大的直线方程是(　　)
A. x＋2y－5＝0 B. 2x＋y－4＝0
C. x＋3y－7＝0 D. x－2y＋3＝0

(第24题)
24. 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
25. 若P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2为其焦点，则cos∠F1PF2的最小值是(　　)
A. B. －1 C. D. －
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
26. 45与80的等比中项是________．
27. 已知一个球的半径R＝3 cm，则它的体积是________cm3.
28. 函数y＝的定义域是________．
29. 已知|a|＝4，|b|＝3，且a⊥b，则(a＋b)·(a－2b)＝________．
30. 已知双曲线 －＝1 离心率 e＝，虚半轴长为3，则双曲线方程为______________．
三、解答题(本大题共4小题，第31，32题每题7分，第33，34题每题8分，共30分)
31. (本题7分)已知cos α＝－，α∈(，π)，试求：
(1)sin(α－)的值；
(2)cos 2α的值．

32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)
(A)如图，四棱锥P－ABCD中，底面是正方形，边长为a，PD＝a，PA＝PC＝a
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与AC所成角．

(B)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D－PC－A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．

33. (本题8分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1，1]上y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m图象的上方，试确定实数m的范围．

34. (本题8分)，如图，已知点A(2，8)，B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线y2＝2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合．

(第34题)

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
(2)求线段BC的中点M的坐标；
(3)求BC所在直线的方程．

5　2022高中学业水平考试《数学》模拟试卷(五)
1. C　2. D　3. B　4. C　5. C　6. A　7. A
8. B　9. A　10. D　11. C　12. C　13. B　14. D
15. B　16. C　17. A　18. B　19. A　20. B
21. C　22. B　23. A　24. D
25. D　[解析：当P位于短轴端点时，即P，∠F1PF2最大，则余弦值最小，cos∠F1PF2＝＝－.]
26. ±60　27. 36π　28. (，1]　29. －2
30. －＝1
31. ∵cos α＝－，α∈(，π)，∴sin α＝，sin(α－)＝(sin αcos－cos αsin)＝cos 2α＝2cos2α－1＝.
32. (A)(1)证明：∵AD＝DC＝a，PD＝a，PA＝PC＝a，∴AD2＋PD2＝PA2，DC2＋PD2＝PC2，∴∠PDA＝90°，∠PDC＝90°，∴PD⊥平面ABCD.　(2)解：连接AC，BD交于O，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥平面ABCD，∴AC⊥PB，∴异面直线PB与AC所成角的大小为90°.
(B)(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.　

(第32题)

(2)解：设AP＝h，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又∵PA⊥底面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，h)，C，D，B(0，2，0)，＝(0，0，h)，＝，＝，＝，易求得n1＝(h，－h，0)为平面PAC的一个法向量，n2＝(h，0，)为平面PDC的一个法向量．∵cos〈n1，n2〉＝＝，∴h＝.又可求平面PBC的一个法向量n3＝(3，，2)，∴点A到平面PBC的距离为d＝||＝＝.
33. 解：(1)由题意得f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴∴ ∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)当x∈[－1，1]时，y＝f(x)＝x2－x＋1的图象恒在y＝2x＋m图象上方，∴x∈[－1，1]时x2－x＋1>2x＋m恒成立，即x2－3x＋1－m>0恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m，x∈[－1，1]时，g(x)min＝g(1)＝12－3×1＋1－m＝－1－m>0，故只要m<－1即可，实数m的范围为m<－1.
34. 解：(1)由点A(2，8)在抛物线y2＝2px上，则82＝2p·2，解得p＝16，所以抛物线方程为y2＝32x，焦点F的坐标为(8，0)．
(2)由F(8，0)是△ABC的重心，所以＝8，＝0，所以x1＋x2＝22，y1＋y2＝－8.由于M是BC的中点，所以点M的坐标为(，)，即为(11，－4)．
(3)由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴，设BC所成直线的方程为 y＋4＝k(x－11)(k≠0)，由消去x得 ky2－32y－32(11k＋4)＝0，所以y1＋y2＝，由(2)的结论得＝－4, 解得k＝－4，因此BC所在直线的方程为 y＋4＝－4(x－11)，即4x＋y－40＝0.