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课时提升作业(三十)
一元二次不等式及其解法
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2021·杭州模拟)设U=R,A={x|-x2-3x>0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x>0}
B.{x|-3<x<-1}
C.{x|-3<x<0}
D.{x|x<-1}
【解析】选B.A={x|-x2-3x>0}={x|x2+3x<0}={x|-3<x<0},阴影部分为A∩B,
所以A∩B={x|-3<x<-1},故选B.
2.(2021·临沂模拟)函数f(x)=x-2-13x-x2的定义域是( )
A.{x|2≤x≤3} B.{x|2≤x<3}
C.{x|0<x<3} D.{x|x>3}
【思路点拨】将条件用不等式组列出,解不等式组可求解.
【解析】选B.要使函数有意义,应有x-2≥0,3x-x2>0,即x≥2,0<x<3,所以2≤x<3,
即函数的定义域为{x|2≤x<3}.
3.(2021·南宁模拟)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,则( )
A.-1<a<1 B.0<a<2
C.-12<a<32 D.-32<a<12
【解析】选C.(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,
即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x成立.
所以x2-x-a2+a+1>0恒成立,
所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,所以-12<a<32.
4.(2022·绍兴模拟)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为( )
A.-235,+∞ B.-235,1
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
【解析】选A.由x2+ax-2>0,得a>-x+2x,
令f(x)=-x+2x,x∈[1,5],
易证f(x)在[1,5]上为减函数,
所以f(x)的最小值为f(5)=-5+25=-235,
又x2+ax-2>0在[1,5]上有解,
所以a>-235,即a的取值范围是-235,+∞.
5.(2021·厦门模拟)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-4,1),则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为( )
A.-43,1
B.(-∞,-1)∪43,+∞
C.(-1,4)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
【思路点拨】利用不等式解集确定a的符号及a与b,c的关系,代入所求不等式可解.
【解析】选A.由不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1)知a<0,-4和1是方程ax2+bx+c=0的两根,
所以-4+1=-ba,-4×1=ca,即b=3a,c=-4a.
故所求解的不等式即为3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0,
即3x2+x-4<0,解得-43<x<1,故选A.
6.关于x的不等式组x-1≥a2,x-4<2a有解,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-3,1)
C.[-1,3] D.[-3,1]
【解析】选A.原不等式组等价于x≥a2+1,x<2a+4,由图可得a2+1<2a+4,所以a2-2a-3<0,所以-1<a<3.
7.(2022·衢州模拟)已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),且f(x)<c的解集为(m,m+5),则c的值为( )
A.25 B.252 C.253 D.254
【解析】选D.由于f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即a2-4b=0.
又f(x)<c的解集为(m,m+5),
所以m,m+5是对应方程f(x)=c的两个不同的根,
所以x2+ax+b-c=0,
所以依据根与系数之间的关系得x1+x2=-a,x1x2=b-c,
又|x2-x1|=(x1+x2)2-4x1x2,
所以|m+5-m|=(-a)2-4(b-c).
即5=a2-4b+4c=4c.
所以c=254.
8.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围
为( )
A.[2-2,2+2] B.(2-2,2+2)
C.[1,3] D.(1,3)
【思路点拨】由f(a)=g(b)可知b的取值应使g(b)在f(x)的值域中,即求f(x)值域后令g(b)∈f(x)的值域即可.
【解析】选B.函数f(x)的值域是(-1,+∞),要使得f(a)=g(b),必需使得-b2+4b-3>-1.
即b2-4b+2<0,解得2-2<b<2+2.
【误区警示】本题搞不清题意,弄不清a,b是何意义,从而不知如何下手,导致误会.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.若关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集为[-1,+∞),则实数a,b的值分别为 .
【思路点拨】分析不等式的解集可确定a的取值而后利用a的值再转化求解.
【解析】依题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以a=0,从而不等式变为bx-1≤0,于是应有b<0,1b=-1,所以b=-1.
答案:0,-1
10.(2021·大同模拟)已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是 .
【思路点拨】结合二次函数图象的开口方向及对称轴分析可解.
【解析】由f(x)=-x2+2x+b2-b+1知二次函数开口向下,对称轴为x=1,所以f(x)在[-1,1]上单调递增,故只要f(-1)=-1-2+b2-b+1>0,即b2-b-2>0,得b<-1或b>2.
答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)
11.(2021·金华模拟)若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集是 .
【解析】由已知,得f(x+6)+f(x)=f(x(x+6)),
2f(4)=f(16).
所以f(x(x+6))<f(16).
由题意,得x(x+6)<16,x>0,x+6>0,解得0<x<2.
答案:{x|0<x<2}
12.(力气挑战题)已知不等式xy≤ax2+2y2,若对任意x∈[1,2]及y∈[2,3],该不等式恒成立,则实数a的范围是 .
【思路点拨】将参数a分别到不等式的一边,然后求不等式另一边的最大值,令t=yx,通过换元,转化为二次函数在闭区间上的最值问题.
【解析】由xy≤ax2+2y2可得a≥yx-2yx2,令t=yx,g(t)=-2t2+t,由于x∈[1,2],y∈[2,3],所以t∈[1,3],于是g(t)=-2t2+t=-2t-142+18,因此g(t)的最大值为g(1)=-1,故要使不等式恒成立,实数a的范围是a≥-1.
答案:a≥-1
【方法技巧】换元法的妙用
本题中涉及三个变量,但通过分别变量,将不等式的一边化为只含有x,y两个变量的式子,然后通过换元法求出该式的最值,从而得到参数a的取值范围.其中换元法起到了关键作用,一般地,形如a[f(x)]2+bf(x)+c的式子,不论f(x)的具体形式如何,都可接受换元法,将其转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决,但需留意的是换元后确定要留意新元的取值范围.
【加固训练】若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 .
【解析】不等式可变形为a>2x-14x=12x-14x,
令12x=t,则t>0,
且y=12x-14x=t-t2=-t-122+14,
因此当t=12时,y取最大值14,
故实数a的取值范围是a>14.
答案:a>14
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要连续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发觉状况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?
【思路点拨】由甲、乙两车的实际刹车距离建立关于甲、乙两车车速的不等式,求出两车的实际车速然后推断是否超速.
【解析】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,
即x2+10x-1200>0,
解得x>30或x<-40(不符合实际意义,舍去).
这表明甲车的车速超过30km/h.但依据题意刹车距离略超过12m,由此估量甲车车速不会超过限速40km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,
即x2+10x-2000>0,
解得x>40或x<-50(不符合实际意义,舍去).
这表明乙车的车速超过40km/h,超过规定限速.
【方法技巧】构建不等式模型解决实际问题
不等式的应用问题经常以函数为背景,多是解决实际生活、生产中的最优化问题等,解题时,要认真审题,认清题目的条件以及要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,建立恰当的不等式模型进行求解.
【加固训练】某产品生产厂家依据以往的生产销售阅历得到下面有关销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)万元,其中固定成本为2万元,并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)满足
R(x)=-0.4x2+4.2x-0.8,0≤x≤5,10.2,x>5.
假定该产品销售平衡,那么依据上述统计规律:
(1)要使工厂有盈利,产品数量x应把握在什么范围?
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为多少?
【解析】(1)设厂家纯收入为y万元,由题意G(x)=x+2,
所以y=R(x)-G(x)=-0.4x2+3.2x-2.8,0≤x≤5,8.2-x,x>5,
令y>0得0≤x≤5,-0.4x2+3.2x-2.8>0或x>5,8.2-x>0,
解得1<x<8.2,故当1<x<8.2时工厂有盈利.
(2)当0≤x≤5时,
y=-0.4x2+3.2x-2.8=-0.4(x-4)2+3.6,
所以当x=4时,ymax=3.6;
当x>5时,y<8.2-5=3.2,
所以当生产400台产品时盈利最大,
此时R(4)=-0.4×42+4.2×4-0.8=9.6,
故每台产品的售价为96 000400=240(元).
14.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
【解析】由于12x2-ax>a2,
所以12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.
令(4x+a)(3x-a)=0,
得x1=-a4,x2=a3.
①a>0时,-a4<a3,解集为
x|x<-a4或x>a3;
②a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R,且x≠0};
③a<0时,-a4>a3,解集为
x|x<a3或x>-a4.
综上所述:当a>0时,不等式的解集为
x|x<-a4或x>a3;
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R,且x≠0};
当a<0时,不等式的解集为
x|x<a3或x>-a4.
15.(力气挑战题)(2021·淮南模拟)已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x∈R).
(1)当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?
(2)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m的取值范围.
【解析】(1)依据题意,m≠1且Δ>0,
即Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>0,
得m2>0,所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下,
x1+x2=m-21-m,x1·x2=11-m,
由于1x1+1x2=x1+x2x1x2=m-2,
所以1x12+1x22=1x1+1x22-2x1x2
=(m-2)2+2(m-1)≤2.
得m2-2m≤0,所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}.
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