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课时提升卷(二十四)
用二分法求方程的近似解
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不行能求出的零点是( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
2.已知f(x)=x3-3x,用二分法求方程f(x)=1的近似解时,在下列哪一个区间内至少有一解( )
A.(-3,-2) B.(0,1)
C.(2,3) D.(-1,0)
3.若函数f(x)在[a,b]上连续,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f()>0,则( )
A.f(x)在[a,]上有零点
B.f(x)在[,b]上有零点
C.f(x)在[a,]上无零点
D.f(x)在[,b]上无零点
4.函数f(x)=2x+m的零点落在(-1,0)内,则m的取值范围为( )
A.(-2,0) B.(0,2)
C.[-2,0] D.[0,2]
5.用二分法争辩函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈ ,其次次应计算 .( )
A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.125)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n= .
7.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈-0.029
f(1.550 0)≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为 .
8.函数f(x)=-x3-3x+5的零点所在长度为1的一个区间为 .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.已知函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0的正根(精确度
为0.01).
10.求的近似值(精确度0.01).
11.(力气挑战题)现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同,用一架天平(无砝码),限称3次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重,如何称?
答案解析
1.【解题指南】二分法只能求变号零点.
【解析】选C.观看图象可知:点x3四周两旁的函数值都为负值,∴零点x3不能用二分法求,故选C.
2.【解析】选D.设g(x)=f(x)-1,则g(-1) =1,g(0)=-1,g(-1)g(0)<0.故在区间(-1,0)上至少有一解.
3.【解析】选B.f(a)f(b)<0,f(a)f()>0,
所以f(b)f()<0,f(x)在[,b]上有零点.
4.【解析】选B.∵f(x)=2x+m,
∴2x+m=0,即x=,∴-1<-<0,
解得0<m<2.
5.【解析】选A.由于f(0)<0,f(0.5)>0,所以x0∈(0,0.5),下一个分点为0.25,故其次次计算f(0.25).
【误区警示】本题在求解过程中常因不理解二分法的优越性(每次减小一半区间)而无从下手,导致不会解答此题.
6.【解析】由于函数f(x)=logax+x-b(2<a<3)
在(0,+∞)上是增函数,
f(2)=loga2+2-b<logaa+2-b=3-b<0,
f(3)=loga3+3-b>logaa+3-b=4-b>0,
∴x0∈(2,3)即n=2.
答案:2
7.【解析】留意到f(1.556 2)≈-0.029和f(1.562 5)≈0.003,明显
f(1.556 2)·f(1.562 5)<0,且|1.562 5-1.556 2|=0.006 3<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.56.
答案:1.56
【变式备选】在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为 (精确度0.1).
【解析】由于|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,
所以0.75或0.6875都可以作为方程的近似解.
答案:0.75或0.6875
8.【解析】f(1)=1>0,f(2)=-9<0,所以长度为1的一个区间为(1,2).
答案:(1,2)
9.【解题指南】由函数在(-1,+∞)上单调递增,故在(0,+∞)上也单调递增,可先推断出f(x)=0的正根最多有一个,然后用二分法逐步计算求解.
【解析】由于函数f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增,因此f (x)=0的正根最多有一个.
由于f(0)=-1<0,f(1)=>0,所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐步计算,列出下表:
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
-0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
-0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
-0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
由于|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 5<0.01,所以方程的根的近似值可取为0.273 437 5,即f(x)=0的正根约为0.273 437 5.
10.【解析】设x=,则x3-2=0.令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值,以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.
用二分法逐步计算,列表如下:
区间
中点
中点函数近似值
[1,2]
1.5
1.375
[1,1.5]
1.25
-0.046 9
[1.25,1.5]
1.375
0.599 6
[1.25,1.375]
1.312 5
0.261 0
[1.25,1.312 5]
1.281 25
0.103 3
[1.25,1.281 25]
1.265 625
0.027 3
[1.25,1.265 625]
1.257 812 5
-0.01
[1.257 812 5,
1.265 625]
区间[1.257 812 5,1.265 625]的长度为
|1.265 625-1.257 812 5|=0.007 812 5<0.01,所以这个区间的两个端点都可以作为函数f(x)零点的近似值,即的近似值可以是1.257 812 5或1.265 625.
11.【解析】先在天平左右各放4个球.有两种状况:
(1)若平,则“坏球”在剩下的4球中.
再取所剩4球中的3球为一边,取3个好球为另一边,放在天平上.
①若仍平,则“坏球”为4球中未取到的那个球,将此球与1个好球放在天平上比一比,即知“坏球”是轻还是重;
②若不平,则“坏球”在一边3球中,且知轻还是重.任取其中2球放在天平上,无论平还是不平,均可确定“坏球”.
(2)若不平,则“坏球”在天平上的8球中,不妨设右边较重.从右边4球中取出3球,置于一容器内,然后从左边4球中取3球移入右边,再从外面好球中取3球补入左边,看天平,有三种可能.
①若平,则“坏球”是容器内3球之一且偏重;
②若左边重,“坏球”已从一边换到另一边.因此,“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一,并且偏轻;
③若右边重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
明显对于以上三种状况的任一种,再用天平称一次,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
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