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浏阳一中2021年下学期高三入学考试试卷——理科数学
时间：100分钟 总分：150分 命题人：胡朝阳 审题人：汤柏黄
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．设复数满足，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．命题“”的否定为
A． B．
C． D．
3．命题是命题的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的定义域为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）
6．曲线在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．试验女排和育才女排两队进行竞赛，在一局竞赛中试验女排获胜的概率是2/3，没有平局．若接受三局两胜制，即先胜两局者获胜且竞赛结束，则试验女排获胜的概率等于
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若向量、满足，，则向量与的夹角等于 （ ）
A． B． C． D．
10．若正实数满足，则
A． 有最大值4 B. 有最小值
C． 有最大值 D． 有最小值
11．已知随机变量的分布列是其中，则
－1
0
2
P
A、 B、 C、0 D、1
12．已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若任意的,不等式恒成立，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．计算定积分 .
14．已知数列满足，且，则数列的前的前项和 = ．
15．与双曲线有相同焦点，且离心率为的椭圆方程为 ．
16．给出下列命题：①已知集合M满足，且M中至多有一个偶数，这样的集合M有6个；
②函数，在区间上为减函数，则的取值范围为；
③已知，则；
④假如函数的图象关于y轴对称，且，
则当时，；其中正确的命题的序号是 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。）
17．（本小题满分10分）在△ABC中内角A,B,C的对边分别是，已知.
（1）求sinC的值；（2）求b边的长.
18．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，
与所成角为， 是的中点，是上的动点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的大小.
20．（本小题满分12分）已知数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求适合方程的正整数的值。
21．（本小题满分12分）已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值．
22．（本小题满分12分）已知函数，常数。
（1）若是函数的一个极值点，求的单调区间；
（2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围；
（3）设函数，
求证：
参考答案
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．C 11．D 12.C
13．0 14．0 15． 16．②③
17．（1） （2）
18．（1）， （2）最大值为2，最小值为－1.
解 （1）
3分
. 4分 6分
（2）由已知得， 8分
，， 10分
故当即时，；
故当即时，，
故函数g（x）在区间上的最大值为2，最小值为－1. 12分
19．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．
设，
则，，
于是，，，
则，
所以．………………6分
（Ⅱ）若，则，，
设平面的法向量为，
由，得：，令，则，
于是，而
设与平面所成角为，所以，
所以与平面所成角为．
20．（Ⅰ）（Ⅱ）100
试题解析：（Ⅰ）时， （2分）
时，， （4分）
是以为首项，为公比的等比数列， （6分）
（Ⅱ） （8分）
（11分）
（12分）
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为6．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为
由已知得，
又点在椭圆上，
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可知，四边形为平行四边形 =4
设直线的方程为，且
由得
=+==
==
令，则 ==，
又在上单调递增
的最大值为
所以的最大值为6．
考点：椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．
22．试题解析：解：（1），
∵是的一个极值点，∴
令，得，令，得；
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是
（2）∵在是单调递增函数，则对恒成立
即对恒成立，对恒成立
令知对恒成立
在单调递增
∴，又，从而
（3），
由于
所以，
相乘，得：
考点：1．导数的综合应用；2．放缩法；3．基本不等式；4．倒序相乘法．
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