2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-9-4-Word版含解析.docx

等价转化思想在直线与圆中的应用
[典例]　(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
[审题视角]　本题难度不大，问题关键是将两圆的位置关系转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离的取值范围问题去处理．
[解析]　圆C的方程x2＋y2－8x＋15＝0化为标准式为(x－4)2＋y2＝1，因两圆有公共点，则两圆相切或相交，那么圆心C(4,0)到直线kx－y－2＝0的距离小于或等于2，
∴≤2，(2k－1)2≤k2＋1，∴3k2－4k≤0得0≤k≤.∴k的最大值为.
[答案]　

等价转化法是从题目动身，把简洁的、生疏的、抽象的、困难的和未知的问题通过等价转化为简洁的、生疏的、具体的、简洁的或已知的问题来解决，从而得出正确的结果．其关键是要明确转化的方向或者说转化的目标．

1．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A．(－∞，]　　　　　　　 B．(0，]
C．(－，0) D．(－∞，)
解析：由题意知直线过圆心，∴－2a－2b＋2＝0，则a＋b＝1，∴1＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≥4ab，∴ab≤.
答案：A
2．两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为(　　)
A．－6 B．－3
C．－3 D．3
解析：两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，
所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，
即a2＋b2＝9.
由a2＋b2≥，当且仅当“a＝b”时等号成立，
所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，即|a＋b|≤3.
所以－3≤a＋b≤3.故a＋b的最小值为－3.
答案：C