资源描述
自主园地 备考套餐
加固训练 练透考点
1．[2022·湖北]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
解析：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
故点M的轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x＜0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. ①
当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)． ②
设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－. ③
(ⅰ)若由②③解得k＜－1，或k＞.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(ⅱ)若或由②③解得k∈{－1，}，或－≤k＜0.
即当k∈{－1，}时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈∪{－1，}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
(ⅲ)若由②③解得－1＜k＜－，或0＜k＜.
即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综上可知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪{－1，}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
2．[2022·湖南]如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
解析：(1)由于e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)．于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2，故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2＞0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.
设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.
由于点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)＜0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，
从而2d＝.
又由于|y1－y2|＝
＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积
S＝|PQ|·2d＝
＝2·.
而0＜2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
3．[2022·山东]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
(1)求C的方程；
(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.
(ⅰ)证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值？若存在，恳求出最小值；若不存在，请说明理由．
解析：由题意知F.
设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为.
由于|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝|t－|，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．
由＝3，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)(ⅰ)由(1)知F(1,0)，
设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，
由于|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，
由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．
故直线AB的斜率kAB＝－.
由于直线l1和直线AB平行，
设直线l1的方程为y＝－x＋b，
代入抛物线方程得y2＋y－＝0，
由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.
设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.
当y≠4时，kAE＝＝－＝，
可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，
由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，
直线AE恒过点F(1,0)．
当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1,0)．
所以直线AE过定点F(1,0)．
(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE过焦点F(1,0)，
所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2.
设直线AE的方程为x＝my＋1，
由于点A(x0，y0)在直线AE上，故m＝.
设B(x1，y1)．
直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)，
由于y0≠0，可得x＝－y＋2＋x0，
代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0.
所以y0＋y1＝－，
可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4.
所以点B到直线AE的距离为
d＝
＝＝4.
则△ABE的面积
S＝×4≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时等号成立．
所以△ABE的面积的最小值为16.
4．[2022·四川]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
解析：(1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①由(1)可得，F的坐标是(－2,0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
所以PQ的中点M的坐标为，
所以直线OM的斜率kOM＝－.
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝
＝
≥ ＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
所以当最小时，T点的坐标是(－3,1)或(－3，－1).
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
