2022届高考数学理新课标A版一轮总复习练习-第8章-解析几何-9.docx

自主园地备考套餐加固训练练透考点12022湖北在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解析：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.()若由解得k1，或k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点()若或由解得k1，或k0.即当k1，时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点()若由解得1k，或0k.即当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综上可知，当k(，1)0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点22022湖南如图，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值解析：(1)由于e1e2，所以，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)于是bb|F2F4|1，所以b1，a22，故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(1,0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.由于点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又由于|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而02m22，故当m0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.32022山东已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.()证明直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，恳求出最小值；若不存在，请说明理由解析：由题意知F.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为.由于|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，由于|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.由于直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0)()由()知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1，由于点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.则ABE的面积S416，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.42022四川已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标解析：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)由(1)可得，F的坐标是(2,0)，设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得，|TF|，|PQ|.所以 .当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值所以当最小时，T点的坐标是(3,1)或(3，1).