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专题一 高考客观题常考的几个问题
第1讲 集合、规律用语、复数、推理证明、平面对量
1．(仿2021·天津，9)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则＝________.
解析 由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，
∴m＝1且n＝1.
则＝＝＝i.
答案 i
2．(仿2021·四川，1)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．
解析 A∩B的元素个数，即为直线与圆的交点个数．
由易知直线与圆有两个交点(0,1)，(1,0)，
∴A∩B＝{(0,1)，(1,0)}．
答案 2
3．(仿2021·北京，3)已知命题p：≤2x≤，命题q：x＋∈，则下列四种说法：①p是q的充要条件，②p是q的充分不必要条件，③p是q的必要不充分条件，④p是q的既不充分也不必要条件，其中正确的是________．
解析 由≤2x≤，∴－2≤x≤－1.
又－≤x＋≤－2，得－2≤x≤－.
∴p是q的充分不必要条件．
答案 ②
4．(仿2011·辽宁，10)已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a|·|b|，则tan x的值等于________．
解析 由|a·b|＝|a|·|b|知，a∥b.
所以sin 2x＝2sin2 x，
即2sin xcos x＝2sin2 x，而x∈(0，π)，
所以sin x＝cos x，
即x＝，故tan x＝1.
答案 1
5．(仿2022·北京，14)若对∀a∈(－∞，0)，∃θ∈R，使asin θ≤a成立，则cos的值为________．
解析 ∵asin θ≤a⇔a(sin θ－1)≤0，
依题意，得∀a∈(－∞，0)，有asin θ≤a.
∴sin θ－1≥0，则sin θ≥1.
又－1≤sin θ≤1，
因此sin θ＝1，cos θ＝0.
故cos＝sin θsin ＋cos θcos ＝.
答案
6．(仿2021·山东，1)已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝________.
解析 由题意可知：＝＝＝－i＝－＋i，因此＝－，化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，则a＝±2，由－＝可知a＜0，仅有a＝－2满足，故a＝－2.
答案 －2
7．(仿2011·广东，5)如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则·的值为________．
解析 延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN.
∵∠BAC为钝角，
∴外心O在△ABC的外部．
又M为BC中点，
∴＝( ＋)．
因此·＝( ＋)·
＝( ·＋·)．
依题设，∠ABN＝∠ACN＝，依据平面对量数量积的几何意义，
∴ ·＝(||2＋||2)＝5.
答案 5
8．(仿2021·陕西，14)已知Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观看下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，
…
可以推想，A－B＝________.
解析 由 S1，S2，S3，S4，S5的特征，推想A＝.
又各项的系数和为1，
∴A＋＋＋B＝1，则B＝－.
因此推想A－B＝＋＝.
答案
9．(仿2011·北京，1)已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1、x2∈R，恒有2f≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)＜0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．
解 (1)对任意x1、x2∈R，
由f(x1)＋f(x2)－2f＝a(x1－x2)2≥0成立，
要使上式恒成立，所以a≥0.
由f(x)＝ax2＋x是二次函数知a≠0，故a＞0.
所以f(x)＝ax2＋x＝ax＜0.
解得A＝.
(2)B＝{x||x＋4|＜a}＝(－a－4，a－4)，
由于集合B是集合A的子集，
所以a－4≤0，且－a－4≥－.
解得－2－≤a≤－2＋.
又a＞0，∴a的取值范围为(0，－2＋]．
10．(仿2022·山东，17)已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．
解 由于β为f(x)＝cos的最小正周期，
故β＝π.由于a·b＝m，
又a·b＝cos α·tan－2，
故cos α·tan＝2＋m.
由于0＜α＜，
所以＝
＝
＝2cos α·
＝2cos α·tan
＝2(2＋m)＝4＋2m.
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