浙江省杭州二中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)-Word版含答案.docx

杭州二中2022学年第一学期高二班级期中考试数学卷（理科）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 设m,n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是
A．若m// B．若m//
C．若m// D．若m//
S
B
A
C
O
3题
2.正方体中，分别是的中点，则过三点的正方体的截面外形是
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
3.如图，在三棱锥中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，底面，为垂足，则侧棱与底面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4.若点，关于直线对称，则的方程是
A． B． C． D．
5.直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
6.如图，在正方体中,下面结论错误的是( )
A.∥平面 B. 异面直线与所成的角为30°
C.⊥平面 D.
6题 7题

7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为

8题
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开头时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过两分钟后，该物体位于点，且，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
10．已知点,直线将△分割为面积相等的两部分,则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（每题4分，共24分）
11.两条平行直线之间的距离为_________.
12.在平面直角坐标系中，已知点，分别以的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为 .

12题 13题
13.如图，正方体，则下列四个命题：
①在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
②在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变；
③在直线上运动时，二面角的大小不变；
④是平面上到点D和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线
其中真命题的个数是

14．如图，正方体的棱长为1，点是面对角线上的动点，则 的最小值为
14题 15题
16题
15．如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．
16.已知直线平面，为垂足，长方体中， ，，，则的最大值为
三、解答题（共46分）
17．（10分）已知直线过点,直线的斜率为且过点.(l)求、的交点的坐标；
(2)已知点,若直线过点且与线段相交，求直线的斜率的取值范围.
18．（12分）一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成,点在圆的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中平面,,..

(1)求证：.
(2)求三棱锥的体积.

19．（12分）如图，已知正方体的棱长为2，分别是、的中点，过、、作平面交于G．
(l)求证：∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方体被平面所截得的几何体的体积．

20.（12分）在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点被直线分隔；
⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.

杭州二中2022学年第一学期高二班级期中考试数学卷（理科）

一、选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

二、填空题（每题4分，共24分）

11. 12. 13.

14. 15. 16.
三、解答题（共46分）
17.（10分）

18. （12分）

19.(12分)

20.（12分）

杭州二中2022学年第一学期高二班级期中考试数学卷（理科）

一、选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
A
D
B
C
B
B
B
二、填空题（每题4分，共24分）

2. 12. 13. 3
14. 15. 16.
三、解答题（共46分）
17.（10分）
【解析】
试题解析：（1）∵直线过点
∴直线的方程为，即
又∵直线的斜率为且过点
∴直线的方程为，即
∴，解得即、的交点坐标为
（2） 由题得下图，
去
EMBED Equation.DSMT4

O
x
y
D
去
EMBED Equation.DSMT4
M
EMBED Equation.DSMT4
去
EMBED Equation.DSMT4
去
EMBED Equation.DSMT4
N
NEMBED Equation.DSMT4

∵

∴直线的斜率的取值范围为或 .
18.【解析】(1)由于EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.
又由于AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.
由于BD⊂平面EBD,所以AC⊥BD.
(2)由于点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.
设圆O的半径为r,圆柱高为h,依据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：
方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,
所以VE-BCD=VC-EBD=S△EBD×CA,
由于EA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以EA⊥AB,即ED⊥AB.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
由于AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,
所以VE-BCD=×4×2=.
方法二：由于EA⊥平面ABC,
所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=S△ABC×EA+
S△ABC×DA=S△ABC×ED.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
由于AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,
所以VE-BCD=错误！未找到引用源。×4×4=.
19.【解析】
（1）证明：在正方体中，由于平面平面,
平面平面平面平面

（2）解：如图，以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则有

设平面的法向量为则由和得
取得
又平面的法向量为
故
所以截面与底面所成二面角的余弦值为
（3）解：设所截几何体的体积为
与相像，

故

20.试题解析：（1）由题得，，∴被直线分隔.
（2）由题得，直线与曲线无交点
即无解
∴或，∴.
又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．
（3）由题得，设，∴，
化简得，点的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为.
联立方程，.
令，由于，
所以方程有实解，直线与曲线有交点．直线不是曲线的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.
明显与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线是分隔线．
综上所述，仅存在一条直线是的分割线.