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模块检测试题
一、选择题(每小题5分，共12小题，共60分．从给出的A、B、C、D四个选项中选出唯一正确的答案填在题后的括号内)
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∪(∁UB)＝( )
A．{1,6} B．{4,5}
C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}
解析 ∁UA＝{1,3,6}，∁UB＝{1,2,6,7}，
∴(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,6,7}．
答案 D
2．化简的结果是( )
A．a B．a
C．a2 D．a
解析 ＝(a·a)＝(a)＝a.
答案 B
3．若log2a<0，()b>1，则( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b<0
C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
解析 ∵log2a<0，∴0<a<1.∵b>1，∴b<0.
答案 D
4．已知函数f＝x2＋，则f(3)＝( )
A．8 B．9
C．11 D．10
解析 f＝2＋2，∴f(x)＝x2＋2，
∴f(3)＝9＋2＝11.
答案 C
5．已知x，y为正实数，则( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
解析 取特殊值即可．如取x＝10，y＝1,2lgx＋lgy＝2,2lg(xy)＝2,2lgx＋2lgy＝3,2lg(x＋y)＝2lg11,2lgx·lgy＝1.
答案 D
6．50.6,0.65，log0.65的大小挨次是( )
A．0.65<log0.65<50.6 B．0.65<50.6<log0.65
C．log0.65<50.6<0.65 D．log0.65<0.65<50.6
解析 log0.65<0,0<0.65<1,50.6>1.
答案 D
7．设函数f(x)＝若f(a)>a，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析 或
∴或∴a∈(－∞，－1)．
答案 B
8．已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在函数y＝x2－2x的图象上，则( )
A．y1<y2<y3 B．y3<y2<y1
C．y1<y3<y2 D．y2<y1<y3
解析 ∵y＝x2－2x在(1，＋∞)上单调递增，m>2，
∴1<m－1<m<m＋1，∴y1<y2<y3.
答案 A
9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
解析 y＝是奇函数，选项A错；y＝e－x是指数函数，非奇非偶，选项B错；y＝lg|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D错；只有选项C是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．
答案 C
10．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表所示，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )
x
1
f(x)
1
A.{x|－4≤x≤4} B．{x|0≤x≤4}
C．{x|－≤x≤} D．{x|0<x≤}
解析 f＝，∴α＝，∴f(x)＝x.
f(|x|)≤2，即|x|≤2，∴|x|≤4，∴－4≤x≤4.
答案 A
11．已知函数f(x)与g(x)＝ex互为反函数，函数y＝h(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若h(a)＝1，则实数a的值为( )
A．－e B．－
C. D．e
解析 f(x)＝lnx，h(x)＝－lnx，
h(a)＝1，∴a＝.
答案 C
12．对于任意x∈(m，＋∞)，不等式log2x<x2<2x都成立，则m的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 分析三个函数图象，当x＝4时，有log2x<x2＝2x，当x>4时，有log2x<x2<2x.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共4小题，共20分．把正确答案写在横线上)
13．lg＋lg的值是________．
解析 lg＋lg＝lg(×)＝lg10＝1.
答案 1
14．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
解析 由题意，可知f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝2＋ln3>0，依据零点存在性定理可知，函数零点肯定在区间(2,3)内，所以n＝2.此题也可通过画出y＝7－3x和y＝lnx的图象来推断．
答案 2
15．设f(x)＝且f(2)＝1，则f的值为________．
解析 f(2)＝logt3＝1，∴t＝3.f()＝log34.
∴f＝f(log34)＝2×3log34＝8.
答案 8
16．设映射f：x→－2x2＋3x是集合A＝R到集合B＝R的映射，若对于实数p∈B，在A中不存在对应的元素，则实数p的取值范围是________．
解析 令f(x)＝－2x2＋3x，则此题只需求函数f(x)＝－2x2＋3x的值域的补集，∵f(x)的值域为，∴p的取值范围为.
答案
三、解答题 (17题10分，18、19、20、21、22题12分，共70分．写出必要的演算步骤)
17．设集合A＝{2,4，a3－2a2－a＋7}，B＝{1,5a－5，－a2＋a＋4，a3＋a2＋3a＋7}，问是否存在a∈R，使A∩B＝{2,5}？若存在实数a，求出实数a的取值，若不存在，请说明理由．
解 由于A∩B＝{2,5}，所以a3－2a2－a＋7＝5，
变形得：(a2－1)(a－2)＝0，∴a＝2或a＝±1.
当a＝2时，B中元素有重复，故a＝2不合题意；
当a＝1时，A∩B＝{5}，a＝1不符合题意；
当a＝－1时，A∩B＝{2,4}，故a＝－1不符合题意．
综上，不存在实数a，使得A∩B＝{2,5}．
18．计算：lg2＋－÷ .
解 原式＝lg＋－÷
＝lg＋1－lg－÷
＝lg＋1－lg－1＝0.
19．已知2x≤256，且log2x≥，求函数f(x)＝1og2·log值域．
解 由2x≤256，log2x≥，∴≤x≤8.
f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2.
设t＝log2x，∵x∈[，8]，∴t∈.
∴y＝t2－3t＋2，t∈，对称轴t＝.
∴当t＝时，ymin＝－，当t＝3时，ymax＝2，
∴y∈，即f(x)的值域为.
20．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：假如只购买一个茶壶，其价格为78元/个；假如一次购买两个茶壶，其价格为76元/个，……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格削减2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x个，假如全部在甲店购买，则所需金额为y1元；假如全部在乙店购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
解 (1)对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80－2x元，则y1与x之间的函数关系式为：
y1＝
对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80×75%＝60元，
则y2与x之间的函数关系式为：
y2＝60x(x≥0，x∈N*)．
(2)y1－y2＝－2x2＋80x－60x＝－2x2＋20x≥0，
∴0≤x≤10.
答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．
21．已知f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对于任意x1∈，都存在x0∈，使得g(x1)＝f(x0)，求实数a的取值范围．
解 由题意知f(x)在上的值域为A＝，设g(x)的值域为B，若满足题意条件，只需B⊆A.
∵a>0，∴∴0＜a≤.
22．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明f(x)在R上是减函数；
(3)已知不等式f＋f(－1)>0(m>0，且m≠1)恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
令x＝0，则f(0)＝0，即＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝.
(2)证明：由(1)知f(x)＝＝－1＋，
任取x1，x2∈R，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵x1<x2，故2x1<2x2，又2x1>0,2x2>0，
从而f(x2)－f(x1)＝<0，
即Δy<0，
故f(x)在R上是减函数．
(3)∵f(x)是奇函数，∴不等式f＋f(－1)>0等价于f>－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在R上为减函数，
由上式推得：logm<1＝logmm.
∴当0<m<1时，上式等价于>m，
∴0<m<；
当m>1时，上式等价于<m，
∴m>1.
综上，m∈∪(1，＋∞)．
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