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双基限时练(二十二)
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案 D
2．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的全部实数根之和为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析 由于y＝f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴f(x)＝0的四个根，为两正两负，且关于原点对称，其和为0.
答案 A
3．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]
解析 因第一次所取的区间是[－2,4]，所以其次次的区间可能是[－2,1]、[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D.
答案 D
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)四周的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.437 5
解析 由参考数据知，f(1.40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.
答案 D
5．设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 令f(x)＝x3－x－2，则f(2)＝23－0＝7，f(1)＝1－－1＝1－2＝－1，∴f(1)·f(2)<0.
故f(x)＝x3－x－2在区间(1,2)内有零点．
答案 B
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.,3.0)
解析 设f(x)＝2x－x2，依据列表有f(0.2)>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．
答案 C
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间为________．
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)>0，所以下一个有根区间是[2,2.5]．
答案 [2,2.5]
8．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a＋b＝________.
解析 令f(x)＝x3－x＋1，则f(－1)＝－1＋1＋1＝1>0，f(－2)＝(－2)3＋2＋1＝－5<0，
∴f(x)在(－2，－1)内有一个零点，这里a＝－2，b＝－1.
∴a＋b＝－3.
答案 －3
9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600)≈0.200
f(1.5875)≈0.133
f(1.575)≈0.067
f(1.5625)≈0.003
f(1.5562)≈－0.029
f(1.5500)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)为________．
解析 留意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，明显f(1.5562)·f(1.5625)<0，且|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，故方程3x－x－4＝0的一个近似解可取1.5625(或1.5562)．
答案 1.5625(或1.5562)．
10．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需准时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般是最多需要检查多少个接点？
解 先检查中间的1个接点，若正常，则可推断故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最终只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．
11．证明函数f(x)＝lnx＋4x－5在(0，＋∞)内仅有一个零点．
证明 设x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝(lnx1＋4x1－5)－(lnx2＋4x2－5)
＝lnx1－lnx2＋4x1－4x2＝ln＋4(x1－x2)．
∵x1>x2>0，∴>1.
∴ln>0,4(x1－x2)>0.
∴f(x1)－f(x2)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又f(1)＝0＋4－5＝－1<0，
f(e)＝1＋4e－5>0，
∴f(x)在(1，e)内有一个零点．
由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以f(x)＝lnx＋4x－5在(0，＋∞)上只有一个零点．
12．推断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)
解 f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，
f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，
∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．
取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，
f(0.75)＝－0.15625<0，
∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．
取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.
∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．
取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.8125，f(0.8125)＝0.073>0.
∴f(0.75)·f(0.8125)<0，
即x0∈(0.75,0.8125)，
而|0.8125－0.75|<0.1.
所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.
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