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规范练(三) 概率与统计
1．节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好．若使用时间小于4千小时的产品为不合格品；使用时间在4千小时到6千小时(不含6千小时)的产品为合格品；使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．某节能灯生产厂家为了解同一型号的某批次产品的质量状况，随机抽取了部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．若以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．
(1)若该批次有产品2 000件，试估量该批次的不合格品、合格品、优质品分别有多少件？
(2)已知该节能灯生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计可知：该型号节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系式为y＝现从大量的该型号节能灯中随机抽取一件，其利润记为X(单位：元)，求X≥20的概率．
解 (1)据题意，该批次的不合格品、合格品、优质品的概率分别为0.1,0.4,0.5，
∴该批次的不合格品、合格品、优质品的件数分别为
200,800,1 000.
(2)∵P(X＝20)＝，P(X＝40)＝，
∴P(X≥20)＝P(X＝20)＋P(X＝40)＝.
2．一个盒子中装有外形大小相同的5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5，甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张．
(1)写出全部可能的结果，并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；
(2)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形，求出能构成三角形的概率．
解 (1)甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本大事有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共20个．
设大事A＝“甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数”，
则大事A包含的基本大事有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,1)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(5,3)共8个．
所以P(A)＝＝.
(2)剩下的三边长包含的基本大事为：
(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个；
设大事B＝“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形”
则大事B包含的基本大事有：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)共3个，所以P(B)＝.
3．某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品开放了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，全部用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品依据得分分成以下几组：第一组[0,2)，其次组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)分别求第三、四、五组的频率；
(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人打算在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的2个产品均来自第三组的概率．
解 (1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五组的频率是0.050×2＝0.1.
(2)设“抽到的2个产品均来自第三组”为大事A，由题意可知，分别抽取3个、2个、1个．
不妨设第三组抽到的是A1、A2、A3；第四组抽到的是B1、B2；第五组抽到的是C1，所含基本大事为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}，共15个，大事A包含的基本大事有3个，所以P(A)＝＝.
4．已知某山区学校有100名四班级同学，将全体四班级同学随机按00～99编号，并且按编号挨次平均分成10组，现要从中抽取10名同学，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样．
(1)若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出全部被抽出同学的号码；
(2)分别统计这10名同学的数学成果，获得成果数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；
(3)在(2)的条件下，从这10名同学中随机抽取两名成果不低于73分的同学，求被抽取到的两名同学的成果之和不小于154分的概率．
解 (1)由题意，得抽出号码为22的组数为3.由于2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应当为02，抽出的10名同学的号码依次分别为：02,12,22,32,42,52,62,72,82,92.
(2)这10名同学的平均成果为：
＝×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，故样本方差为：s2＝×(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.
(3)从这10名同学中随机抽取两名成果不低于73分的同学，共有如下10种不同的取法：
(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
其中成果之和不小于154分的有如下7种：(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．
故被抽取到的两名同学的成果之和不小于154分的概率为：P＝.
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