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第十章 10.4第4课时
一、选择题
1．从12个同类产品中(其中有10个正品，2个次品)，任意抽取3个，下列大事是必定大事的是( )
A．3个都是正品 B．至少有一个是次品
C．3个都是次品 D．至少有一个是正品
答案 D
解析 在基本大事空间中，每一个大事中正品的个数可能是1,2,3，而不行能没有．
2．给出关于满足AB的非空集合A、B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必定大事；
②若任取x∉A，则x∈B是不行能大事；
③若任取x∈B，则x∈A是随机大事；
④若任取x∉B，则x∉A是必定大事．
其中正确的是命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
3．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的状况有4种，∴P＝.
4．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的状况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为＝.
5．有两个质地均匀、大小相同的正四周体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面全部数字之和能被5整除的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 “斜向上的全部数字之和能被5整除”，等价于：两个底面数字之和能被5整除，而两底数全部的状况有4×4＝16(种)，而两底数和为5，包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4种状况，∴P＝＝.
6．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5，的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 从分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球中随机取出2个小球的基本大事数分别为：1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9共10种不怜悯形；而其和为3或6的共3种情形，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是.
7．将一枚骰子抛掷两次，若先后毁灭的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 若方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，当有序实数对(b，c)的取值为(6,6)，(6,5)，…，(6,1)，(5,6)，(5,5)，…，(5,1)，(4,4)，…，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)时方程有实根，共19种状况，而(b，c)等可能的取值共有36种状况，所以，方程有实根的概率为P＝.
8．把一颗骰子投掷两次，观看毁灭的点数，并记第一次毁灭的点数为a，其次次毁灭的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 若m与n共线，则2a－b＝0，而(a，b)的可能性状况为6×6＝36个．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是＝，从而不共线的概率是1－＝.
二、填空题
9．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
答案
解析 设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.
10．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则毁灭向上的点数之和为4的概率是________．
答案
解析 本题基本大事共6×6个，点数和为4的有3个大事为(1,3)、(2,2)、(3,1)，故P＝＝.
11．现有5根竹秆，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
答案 0.2
解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有C＝10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m的种数为2，∴P＝＝0.2.
三、解答题
12．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．
解析 解法一 设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为大事A，“不到4年达到要求”为大事B，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是大事A＋B，明显A与B是互斥大事，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
解法二 设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为大事M，则为“进口汽车5年关税达到要求”，所以P(M)＝1－P()＝1－0.21＝0.79.
13．某战士射击一次，问：
(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？
(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？
解析 (1)记中靶为大事A，不中靶为大事，依据对立大事的概率性质，有
P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
∴不中靶的概率为0.05.
(2)记命中10环为大事B，命中9环为大事C，命中8环为大事D，至少8环为大事E，不够9环为大事F.
由B、C、D互斥，E＝B∪C∪D，F＝，依据概率的基本性质，有
P(E)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；
P(F)＝P()＝
1－P(B∪C)＝1－(0.27＋0.21)＝0.52.
∴至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52.
14．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球．
(1)若n＝3，求取到的4个球至少有一个是白球的概率；
(2)若“取到的4个球中至少有2个红球”的概率为，求n.
解析 (1)记“取到的4个球全是红球”为大事A，
则P(A)＝·＝·＝.
因而4个球至少有一个是白球的概率
P＝1－P(A)＝1－＝.
(2)记“取到的4个球至多有1个红球”为大事B，“取到的4个球只有1个红球”为大事B1，“取到的4个球全是白球”为大事B2.由题意，
得P(B)＝1－＝.
P(B1)＝·＋·
＝；
P(B2)＝·＝；
所以P(B)＝P(B1)＋P(B2)
＝＋＝，
化简，得7n2－11n－6＝0，
解得n＝2或n＝－(舍去)，故n＝2.
15．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解析 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本大事空间
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2， B2，C2)，(A2，B3， C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．
由18个基本大事组成．由于每一基本大事被抽取的机会均等，因此这些基本大事的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一大事，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
因而P(M)＝＝.
(2)用“N”表示“B1，C1不全被选中”这一大事，则其对立大事表示“B1、C1全被选中”这一大事；
由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，
大事由3个基本大事组成，
所以P()＝＝，
由对立大事的概率公式得
P(N)＝1－P()＝1－＝.
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