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阶段回扣练11 推理与证明、算法初步与复数
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．(2022·辽宁卷)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝ ( )
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
解析 ∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.
答案 A
2．(2022·天津卷)i是虚数单位，复数＝ ( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
解析 ＝＝＝1－i，故选A.
答案 A
3．(2021·北京西城区模拟)在复平面内，复数z＝(1＋2i)(1－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i，
所以复数z＝3＋i对应点为(3,1)在第一象限，选A.
答案 A
4．(2022·江西卷)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ( )
A．7 B．9
C．10 D．11
解析 i＝1，S＝0，第1次运行，S＝0＋lg ＝－lg 3＞－1；第2次运行，i＝3，S＝lg ＋lg ＝lg ＝－lg 5＞－1；第3次运行，i＝5，S＝lg ＋lg ＝lg ＝－lg 7＞－1；第4次运行；i＝7，S＝lg ＋lg ＝lg ＝－lg 9＞－1；第5次运行，i＝9，S＝lg ＋lg ＝lg ＝－lg 11＜－1，终止循环，输出i＝9.
答案 B
5．(2022·沈阳质量监测)若[x]表示不超过x的最大整数，如[2.1]＝2，[－2.1]＝
－3.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 运行该程序，第一次循环，S＝1＋＝1，n＝2；其次次循环，S＝1＋＝1，n＝3；第三次循环，S＝1＋＝2，n＝4；第四次循环，S＝2＋＝3，n＝5，此时循环结束，输出S＝3，故选B.
答案 B
6．(2022·湖南卷)执行如图所示的程序框图，假如输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于 ( )
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
解析 当t∈[－2,0)时，执行t＝2t2＋1得t∈(1,9]，输出S＝t－3，此时S∈
(－2,6]；当t∈[0,2]时，输出S＝t－3，
此时S∈[－3，－1]．因此输出S的值属于[－3,6]，故选D.
答案 D
7．(2022·四川卷)执行如图的程序框图，假如输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 本程序框图的功能是当x，y满足约束条件时，求目标函数S＝2x＋y的最大值，如图所示，目标函数在点(1,0)处取得最大值2，故选C.
答案 C
8．(2021·湖北黄冈一模)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则 ( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
解析 (x－a)⊗(x＋a)＜1⇔(x－a)(1－x－a)＜1，
即x2－x－a2＋a＋1＞0.不等式恒成立的充要条件是Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，即4a2－4a－3＜0.解得－＜a＜.故选C.
答案 C
9．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是 ( )
A．第一列 B．其次列
C．第三列 D．第四列
解析 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．
答案 D
10．已知数列{an}的各项分别为，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a99＋a100的值为 ( )
A. B.
C. D.
解析 通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：，分子、分母之和为2；其次组有两个数：，，分子、分母之和为3；第三组有三个数：，，，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a99＝，a100＝.故a99＋a100＝.故选A.
答案 A
二、填空题
11．(2022·四川卷)复数＝________.
解析 ＝＝(1－i)2＝－2i.
答案 －2i
12．(2022·辽宁卷)执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.
解析 第一步：i＝1，S＝1，T＝1；
其次步：i＝2，S＝3，T＝4；
第三步：i＝3，S＝6，T＝10；
第四步：i＝4，S＝10，T＝20，此时停止循环，
∴输出T＝20.
答案 20
13．(2022·天津卷)阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．
解析 第1次循环S＝0＋(－2)3＝－8，n＝2≤1不成立；第2次循环S＝－8＋(－2)2＝－4，n＝1≤1成立；
终止循环．故输出S＝－4.
答案 －4
14．观看下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为___________________________________．
解析 观看规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
15．在平面几何中有如下结论：若正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四周体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.
解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以＝.
答案
三、解答题
16．用分析法证明：若a＞0，则－≥a＋－2.
证明 ∵a＞0，
由基本不等式知a＋≥2，a2＋≥2，
∴－≥0，a＋－2≥0.
下面用分析法证明－≥a＋－2.
要证明－≥a＋－2成立，只需证明
2≥2，
即2－2≥·，
即42≥2，
即2－4＋4≥0，
即证明2≥0，
明显2≥0成立，
∴若a＞0，则－≥a＋－2.
17．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明>c.
证明 (1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设<c，又>0，由0<x<c时，f(x)>0，
知f>0与f＝0冲突，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
18．阅读下面材料：
依据两角和与差的正弦公式，有
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， ①
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， ②
由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， ③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③得sin A＋sin B＝2sin cos.
(1)类比上述推理方法，依据两角和与差的余弦公式，证明：cos A－cos B＝
－2sinsin；
(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，试推断
△ABC的外形．
(提示：假如需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)
解 (1)由于cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， ①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， ②
①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β. ③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③得cos A－cos B＝－2sin sin.
(2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C，
所以sin2A＋sin2C＝sin2B.
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理可得a2＋c2＝b2.
依据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．
19．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你依据这一发觉，
(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；
(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.
解 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f＝×3－×2＋3×－＝1.
由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.
(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，
所以f＋f＝2，
即f(x)＋f(1－x)＝2.
故f＋f＝2，
f＋f＝2，
f＋f＝2，
…
f＋f＝2.
所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 012＝
2 012.
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