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其次节 随机抽样
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．(2022·四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体
B．个体
C．样本的容量
D．从总体中抽取的一个样本
解析 由题意知，5 000名居民的阅读时间是总体，200名居民的阅读时间为一个样本；每个居民的阅读时间为个体；200为样本容量；故选A.
答案 A
2．(2022·湖南卷)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1
C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3
解析 由随机抽样的原则可知简洁随机抽样、分层抽样、系统抽样都必需满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3，故选D.
答案 D
3．(2022·重庆卷)某中学有高中生3 500人，学校生1 500人．为了解同学的学习状况，用分层抽样的方法从该校同学中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100 B．150
C．200 D．250
解析 由题意知，抽样比为＝，
所以＝，即n＝100.故选A.
答案 A
4．某地区高中分三类，A类学校共有同学2 000人，B类学校共有同学3 000人，C类学校共有同学4 000人，若实行分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的同学甲被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 利用分层抽样，每个同学被抽到的概率是相同的，故所求的概率为＝.
答案 A
5．(2021·石家庄模拟)某学校高三班级一班共有60名同学，现接受系统抽样的方法从中抽取6名同学做“早餐与健康”的调查，为此将同学编号为1,2，…，60.选取的这6名同学的编号可能是( )
A．1,2,3,4,5,6
B．6,16,26,36,46,56
C．1,2,4,8,16,32
D．3,9,13,27,36,54
解析 系统抽样是等间隔抽样．样本对应号码是一个等差数列，公差与间隔数＝10.
答案 B
6．800名同学中抽50名同学做牙齿健康检查．现将800名同学从1到800进行编号，求得间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，假如抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是( )
A．40 B．39
C．38 D．37
解析 按系统抽样分组，33～48这16个数属第3组，则这一组应抽到的数是7＋2×16＝39.
答案 B
二、填空题
7．某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比是334，现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，则应从高二班级抽取__________名同学．
解析 高二班级同学人数占总同学人数的，样本容量为50，则50×＝15，所以从高二班级抽取15名同学．
答案 15
8．商场共有某品牌的奶粉240件，全部为A，B，C三个批次的产品，其中A，B，C三个批次的产品数量成等差数列，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，则应从B批次的产品中抽取________件．
解析 方法一：由于A，B，C三个批次的产品数量成等差数列，所以B批次的产品有＝80(件)，又抽取比例为＝，故B批次的产品应当抽取80×＝20(件)．
方法二：由题意知，抽取的样本数也成等差数列，故B批次的产品应抽取20件．
答案 20
9．某地有居民100 000户，其中一般家庭99 000户，高收入家庭1 000户．从一般家庭中以简洁随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简洁随机抽样方式抽取100户进行调查，发觉共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中一般家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所把握的统计学问，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估量是________．
解析 由于99099 000＝1100，所以一般家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为50×100＝5 000(户)．又由于1001 000＝110，所以高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为70×10＝700(户)．所以约有5 000＋700＝5 700(户)．故×100%＝5.7%.
答案 5.7%
三、解答题
10．某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为532，从全部职工中抽取一个样本容量为400的样本，应接受哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？
解 由于中、青、老年职工有明显的差异，故接受分层抽样更合理．
依据比例抽取中，青、老年职工分别为×400＝200，×400＝120，×400＝80，
因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人，120人，80人．
11．某单位200名职工的年龄分布状况如图，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号挨次平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是多少？若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取多少人？
解 系统抽样的抽样间隔为＝5.
由于第5组抽取号码为22，
所以第8组抽取的号码为22＋3×5＝37.
由题图知，40岁以下年龄段应抽取50%×40＝20人．
1．利用简洁随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若其次次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意知＝，∴n＝28.∴P＝＝.
答案 B
2．在某高校数学专业的160名同学中开展一项社会调查，先将同学随机编号为01,02,03，…，160，接受系统抽样的方法抽取样本，已知抽取的同学中最小的两个编号为07,23，那么抽取的同学中最大编号应当是( )
A．150 B．151
C．142 D．143
解析 由最小的两个编号为07,23可知，抽样间距为16，因此抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为7，公差为16的等差数列，故抽取的同学中最大编号为7＋9×16＝151.
答案 B
3．一个总体中的80个个体编号为0,1,2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0,1，…，7，要用(错位)系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地
得到后面各组的号码，即第k组中抽取个位数字为i＋k(当i＋k<10)或i＋k－10(当i＋k≥10)的号码．在i＝6时，所抽到的8个号码是________．
解析 由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28，此次类推，应选39,40,51,62,73.
答案 6,17,28,39,40,51,62,73
4．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受训练程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
争辩生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为争辩生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．
解 (1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5 样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴＝，解得m＝3.
抽取的样本中有争辩生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的全部等可能基本大事共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．
其中至少有1人的学历为争辩生的基本大事有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
∴从中任取2人，至少有1人学历为争辩生的概率为.
(2)由题意，得＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴＝＝，解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.
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