2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第4章-第1讲-任意角、弧度制及任意角的三角函数.docx

第四章 三角函数、解三角形
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1．sin 2cos 3tan 4的值(　　)．
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
解析　∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，
∴sin 2cos 3tan 4＜0.
答案　A
2．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．(　　)
A．一　　　　　　　　　　 B．二
C．三 D．四
解析 因P点坐标为(－，－)，∴P在第三象限．
答案 C
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为 (　　)．
A．40π cm2 B．80π cm2 C．40cm2 D．80cm2
解析　72°＝，∴S扇形＝αR2＝××202＝80π(cm2)．
答案　B
4．给出下列命题：
①其次象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或其次象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是其次或第三象限的角．
其中正确命题的个数是 (　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　由于第一象限角370°不小于其次象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是其次象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是其次象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案　A
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ (　　)．
A．－8 B．8 C．－4 D．4
解析　依据题意sin θ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，＝－，又∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.
答案　A
6．点P从(1,0)动身，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)．
A. B.
C. D.
解析　设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cos α，
y＝sin α，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为.
答案　A

二、填空题
7．若β的终边所在直线经过点P，则sin β＝________，
tan β＝________.
解析 由于β的终边所在直线经过点P，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在其次或第四象限．
所以sin β＝或－，tan β＝－1.
答案 或－　－1
8．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．
解析　∵点P(tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.
∴角α在其次象限．
答案　二
9．设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析　由题意得S＝(8－2r)r＝4，整理得r2－4r＋4＝0，解得r＝2.又l＝4，故|α|＝＝2(rad)．
答案　2
10．函数y＝的定义域为________．
解析　
∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．
∴x∈(k∈Z)．
答案　(k∈Z)
三、解答题
11． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：
①60°；②－21°.
(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解　(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；
②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.
(2)终边在y＝－x上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
12．(1)确定的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0<m<1)，试推断式子sinα－cosα的符号．
解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、其次象限角，
∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0，

∴原式大于0.
(2)若0<α<，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，
∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.
若α＝，则sinα＋cosα＝1.
由已知0<m<1，故α∈.
于是有sinα－cosα>0.
13．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解　设圆的半径为r cm，弧长为l cm，
则解得
∴圆心角α＝＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.
∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．
14． 如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在其次象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．
(1)求sin∠COA；(2)求cos∠COB.
解　(1)依据三角函数定义可知sin∠COA＝.
(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，
又sin∠COA＝，cos∠COA＝，
∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)
＝cos∠COAcos 60°－sin∠COAsin 60°
＝·－·＝.