2021高考数学(文)一轮知能检测：第10章-第5节-古典概型.docx

第五节　古 典 概 型

[全盘巩固]
1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则得到点数相同的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　投掷两颗骰子得到点数相同的状况只有6种，所以所求概率为＝.
2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：选D　小正方体三面涂有油漆的有8种状况，故所求概率为＝.
3．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　由于(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，所以m>n.基本大事总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．故P＝＝.
4．(2022·杭州模拟)在一个盒子中有编号为1,2的红球2个，编号为1,2的白球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：选C　从4个球中摸出2个球的状况共有6种，其中2球颜色不同且编号不同的状况有2种，故所求概率P＝＝.
5．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是(　　)
A. B. C. D．1
解析：选C　由于A∩B＝B，
所以B可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．
当B＝∅时，a2－4b<0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.
当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.
当B＝{1,2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.
当B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a，b.
故A∩B＝B的概率为＝.
　6．(2022·深圳模拟)一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，其次次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B　基本大事的总数是36，随机大事包含的基本大事是(1,6)，(2,4)，(3,2)，依据古典概型的公式，得所求的概率是＝.
7．(2021·新课标全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：任取两个不同的数的状况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2, 4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中和为5的有2个，所以所求概率为＝0.2.
答案：0.2
8．(2021·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
解析：设3名男同学分别为a1、a2、a3,3名女同学分别为b1、b2、b3，则从6名同学中任选2名的结果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P＝＝.
答案：
9．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________．
解析：设正方形ABCD的中心为O，从A、B、C、D、O五点中，随机取两点，全部可能的结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，AO，BO，CO， DO，共10种，其中距离为的结果有AO，BO，CO，DO，共4种，故所求概率为＝.

答案：
10. (2021·江西高考)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋．玩耍规章为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的全部可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解：(1)X的全部可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故全部可能的状况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝；
由于去唱歌的概率为P2＝，
所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.
11．将一颗骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，求：
(1)两数之和为5的概率；
(2)两数中至少有一个奇数的概率．
解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本大事．
(1)记“两数之和为5”为大事A，则大事A中含有4个基本大事，所以P(A)＝＝.
所以两数之和为5的概率为.
(2)记“两数中至少有一个奇数”为大事B，则大事B与“两数均为偶数”为对立大事．
所以P(B)＝1－＝.
所以两数中至少有一个奇数的概率为.
12．(2022·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩玩耍，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌面数字(假如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲乙两人抽到的牌的全部状况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲乙商定，若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此玩耍是否公正？请说明理由．
解：(1)方片4用4′表示，则甲乙两人抽到的牌的全部状况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的状况
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌比乙大，有(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，(3,2)，共5种状况．
甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.由于<，所以此玩耍不公正．
[冲击名校]
现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x，y)表示大事“抽到的两道题的编号分别为x、y，且x<y”．
(1)问有多少个基本大事，并列举出来；
(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率．
解：(1)共有36个等可能的基本大事，列举如下：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1, 9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．
(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为大事A，
则大事A为“x，y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x＋y∈[11,17)，其中x<y”．
由(1)可知大事A共包含15个基本大事，列举如下：
(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，
所以P(A)＝＝.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为.