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双基限时练(十五)
1．若平面α与平面β不垂直，那么α内能与β垂直的直线( )
A．有0条 B．有一条
C．有2条 D．有很多条
答案 A
2．过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( )
A．1 B．2
C．很多 D．1或很多
解析 当a⊥α时，过a与平面α垂直的平面有很多个；当a不垂直α时，过a与平面α垂直的平面有一个．
答案 D
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交，但不垂直
D．以上都有可能
解析 垂直同一平面的两个平面，相交、平行都有可能．
答案 D
4．若两条直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能有一个，也可能不存在
C．有很多多个
D．肯定不存在
解析 当a⊥b时，存在一个．当a不垂直b时，不存在．
答案 B
5．自二面角内任一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的关系是( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．无法确定
解析 依据平面四边形内角和等于360°知，它们互补．
答案 B
6．在四周体ABCD中，若有两组对棱相互垂直，则另一组对棱所成的角为________．
解析 借助于正方体做出推断．如图所示，在四周体ABCD中，有AB⊥CD，AC⊥BD.另一组对棱BC⊥AD.因此，另一组对棱所成的角为90°.
答案 90°
7．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.
以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
答案 ①③④⇒②或②③④⇒①
8．如图，已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与BCA为面的二面角为________．
解析 取BC的中点E，连接AE，DE，由题意知AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AED为所求二面角的平面角．
计算得AE＝DE＝，AD＝2.
∴AE2＋DE2＝AD2，∴∠AED＝90°.
答案 90°
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边长都相等，M为PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要写出一个你认为是正确的条件即可)
解析 由题意易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.因此只要BM⊥PC或DM⊥PC，就可推得平面MBD⊥平面PCD.
答案 BM⊥PC(或DM⊥PC)
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：
(1)直线D1C与平面AC所成的角；
(2)二面角D1—BC—D的大小．
解 (1)∵D1D⊥平面AC，
∴D1C在平面AC上的射影是DC.
∴∠D1CD是直线D1C与平面AC所成的角．
在△D1CD中，D1D⊥CD，D1D＝CD，
∴∠D1CD＝45°.
∴直线D1C与平面AC所成的角是45°.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥CD，BC⊥CC1，∴BC⊥平面D1C.∴BC⊥D1C，BC⊥CD.
∴∠D1CD是二面角D1－BC－D的平面角．
由(1)知∠D1CD＝45°，
∴二面角D1－BC－D的大小是45°.
11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)如图，由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，
由于EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因
为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C⊂平面BB1C1C，故A1D⊥平面BB1C1C，
又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求证：∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．
证明 (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2.
∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
又AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．
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