高中数学(北师大版)必修五教案：1.1-聚焦高考：数列1.docx

高考数学——数列
一、选择题
1．（广东卷）已知等比数列的公比为正数，且=2，=1，则= （ ）
A． B． C． D．2
【解析】B；
设公比为，由已知得，即，又由于等比数列的公比为正数，所以，故，选B．
2．（2009江西卷）公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项，，则等于（ ）
A．18 B．24 C．60 D．90 ．
【解析】C；由得得，再由得则，所以，故选C．
3．（湖南卷）设是等差数列的前项和，已知，，
则等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D． 63
【解析】故选C．
或由，
所以故选C．
4．（福建卷）等差数列的前项和为，且=6，=4，则公差等于（ ）
A．1 B． C． D．3
【解析】C；∵且，，∴．故选C．
5．（2009辽宁卷）已知为等差数列，且－2＝－1，＝0，则公差（ ）
A． B． C． D．2
【解析】B；Þ．
6．（辽宁卷）设等比数列的前项和为，若=3，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【解析】B；设公比为，则，于是．
7．（宁夏海南卷）等比数列的前项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【解析】4，2，成等差数列，
，选C．
8．（四川卷）等差数列的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）
A． 90 B． 100 C． 145 D． 190
【解析】B；设公差为，则．∵≠0，解得＝2，∴＝100．
9．（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来争辩数，例如：
．
他们争辩过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中准时三角形数又是正方形数的是（ ）
A．289 B．1024 C．1225 D．1378
【解析】C；由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排解A、D，又由知必为奇数，故选C．
10．（宁夏海南卷）等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9 ．
【解析】C；由于是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，，又，即，即，解得，故选．C．
11．（重庆卷）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）
A． B． C． D．
【解析】A；设数列的公差为，则依据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和
12．（安徽卷）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【解析】由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，选B．
13．（江西卷）数列的通项，其前项和为，则为（ ）
A． B． C． D．
【解析】A；由于以3 为周期，故

14．（四川卷）等差数列的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）
A．90 B．100 C．145 D．190 ．
【解析】B；设公差为，则．∵≠0，解得，∴＝100．
二、填空题
1．（全国卷Ⅰ）设等差数列的前项和为，若，
则= ．
【解析】是等差数列，由，得
．
2．（浙江）设等比数列的公比，前项和为，则 ．
【解析】15；对于
3．（浙江）设等比数列的公比，前项和为，则 ．
【解析】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列学问点的考查充分体现了通项公式和前项和的学问联系．对于 ．
4．（浙江）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．
【解析】；此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的学问，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和力气．对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．
5．（北京）若数列满足：，则 ；前8项的和 ．（用数字作答）
【解析】，易知，∴应
填255．
6．（北京）已知数列满足：则________；=_________．
【解析】1，0；本题主要考查周期数列等基础学问．属于创新题型．
依题意，得，． ．
7．（江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= ．
【解析】考查等价转化力气和分析问题的力气．等比数列的通项．
有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，．
8．（山东卷）在等差数列中，，则．
【解析】设等差数列的公差为，则由已知得解得，所以．本题考查等差数列的通项公式以及基本计算．
9．（全国卷Ⅱ）设等比数列{}的前项和为．若，则= ．
【解析】3；由得，故．
10．（湖北卷）已知数列满足：（m为正整数），
若，则m全部可能的取值为__________．．
【解析】 4 5 32；⑴若为偶数，则为偶， 故
①当仍为偶数时， 故
②当为奇数时，
故得．
⑵若为奇数，则为偶数，故必为偶数
，所以=1可得．
11．（全国卷Ⅱ）设等差数列的前项和为，若，则 ．
【解析】为等差数列，
12．（宁夏海南卷）等比数列{}的公比，已知=1，，则{}的前4项和= ．
【解析】由得：，即，，解得：，
又=1，所以，，＝．
13．（2009重庆卷）设，，，，则数列的通项公式= ．
【解析】由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则
三、解答题
1．（全国卷Ⅰ）
在数列中，
⑴设，求数列的通项公式；
⑵求数列的前项和
【解析】⑴由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式： （）
⑵由⑴知，
=
而，又是一个典型的错位相减法模型，
易得 =
评析：09年高考理科数学全国（一）试题将数列题前置，考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式．具有让考生和一线老师重视教材和基础学问、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用．也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦认真．
2．（浙江）
设为数列的前项和，，，其中是常数．
⑴求及；
⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
【解析】⑴当，
（）
阅历，（）式成立，
⑵成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
3．（北京）
设数列的通项公式为． 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的全部n中的最小值．
⑴若，求；
⑵若，求数列的前2m项和公式；
⑶是否存在p和q，使得？假如存在，求p和q的取值范围；假如不存在，请说明理由．
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算力气、推理论证力气、
分类争辩等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．
⑴由题意，得，解，得． ．
∴成立的全部n中的最小整数为7，即．
⑵由题意，得，
对于正整数，由，得．
依据的定义可知
当时，；当时，．
∴

．
⑶假设存在p和q满足条件，由不等式及得．
∵，依据的定义可知，对于任意的正整数m 都有
，即对任意的正整数m都成立．
当（或）时，得（或），
这与上述结论冲突！
当，即时，得，解得．
∴存在p和q，使得；
p和q的取值范围分别是，．
4．（北京）
已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于．
⑴分别推断数集与是否具有性质，并说明理由；
⑵证明：，且；
⑶证明：当时，成等比数列．
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算力气、推理论证力气、分类争辩等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题．
⑴由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P．
由于都属于数集，
∴该数集具有性质P．
⑵∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故． ．
从而，∴．
∵， ∴，故．
由具有性质P可知．
又∵，
∴，
从而，
∴． ．
⑶由⑵知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由具有性质可知．
，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列．．k．s．5．
5．（山东卷）
等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上．
⑴求的值；
⑵当时，记，求数列的前项和
【解析】由于对任意的，点，均在函数且均为常数）的图像上．所以得，
当时，，
当时，，
又由于{}为等比数列，所以，公比为，所以
⑵当b=2时，，
则

相减，得

所以
本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知求的基本题型，并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和．
6．（广东卷）
已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
⑴求数列的通项公式；
⑵证明：．
【解析】⑴设直线：，联立得
，则，∴（舍去）．
，即，∴
⑵证明：∵ ．

∴
由于，可令函数，
则，令，得，
给定区间，则有，则函数在上单调递减，
∴，即在恒成立，
又，
则有，即． ．
7．（安徽卷）
首项为正数的数列满足
⑴证明：若为奇数，则对一切都是奇数；
⑵若对一切都有，求的取值范围．
【解析】本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关学问，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究力气，考查同学是否具有审慎思维的习惯和确定的数学视野．本小题满分13分．
⑴已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，
则由递推关系得是奇数．
依据数学归纳法，对任何，都是奇数．
⑵（方法一）由知，当且仅当或．
另一方面，若则；若，则
依据数学归纳法，
综合所述，对一切都有的充要条件是或．
（方法二）由得于是或．

由于所以全部的均大于，因此与同号．
依据数学归纳法，，与同号．
因此，对一切都有的充要条件是或．
8．（江西卷）
数列的通项，其前n项和为．
⑴求；
⑵求数列｛｝的前n项和．
【解析】⑴由于，故

，

故 （）
⑵

两式相减得

故
9．（江西卷）
各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
⑴当时，求通项 ．
⑵证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有
【解析】⑴由得
将代入化简得．

所以 ．
故数列为等比数列，从而即
可验证，满足题设条件．
⑵由题设的值仅与有关，记为则 ．
考察函数 ，
则在定义域上有
故对，恒成立．
又 ，
留意到，解上式得

取，即有．