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高考数学--数列
一、选择题：
1. （福建题3）
设是公比为正数的等比数列，若，，则数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 C易知．
2. （福建题3）
设是等差数列，若，，则数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 C前项和为．
3. （广东题2）
记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 D，∴，故
4. （广东题4）
记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A． B． C． D．
【解析】 B．
5. （天津题4）
若等差数列的前5项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 B；，故公差，从而
6. （浙江题6）
已知是等比数列，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 C；由条件先求得，，知，取，便知选项C符合；
或推断出所求是以为首项，为公比的等比数列的前项和，故
7. （全国Ⅰ题5）
已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B． C．95 D．23
【解析】 C；由．
8. （全国Ⅰ题7）
已知等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】 A；，于是，．
9. （北京题6）
已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】 C
方法一：令，则，，∴；
方法二：．
二、填空题：
1. （四川延题14）
设等差数列的前项为，且．若，则_____________．
【解析】 ；，于是．
2. （江苏题10）
将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
依据以上排列的规律，数阵中第行从左至右的第个数为 ．
【解析】 ；
思路一：将各行第一个数依次取出，组成数列：1，2，4，7，…，
则，，，…，，
将这个等式左右两边分别相加，得，
则，所以所求的数为．
思路二：将数阵前行全部的数依次排列得1，2，3，…，，
所以第行最终一个数为，那么第行的第3个数为．
3. （安徽题15）
在数列中，，，，其中为常数，则 ．
【解析】
，，
故．
4. （四川题16）
设数列中，，，则通项 ．
【解析】 ；由已知．
5. （重庆题14）
设是等差数列的前项和，，，则 ．
【解析】 ；，．
三、解答题：
1．（全国一19） 12分
在数列中，，．
⑴设．证明：数列是等差数列；
⑵求数列的前项和．
【解析】⑴，
，
，
则为等差数列，，
，．
⑵
两式相减，得
2．（全国二题18） 12分
等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．
【解析】设数列的公差为，则
，
，
． 3分
由成等比数列得，
即，
整理得，
解得或． 7分
当时，． 9分
当时，，
于是． 12分
3． （广东题21） 12分
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
⑴证明：，；
⑵数列的通项公式；
⑶若，，求的前项和．
【解析】 ⑴由求根公式，不妨设，得
∴，
⑵设，则，
由得，
消去，得，∴是方程的根，由题意可知，，
①当时，此时方程组的解记为或
∴，，
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得，，
两式相减，得
∵，，∴，
∴，
∴，即∴，∴
②当时，即方程有重根，∴，
即，得，，不妨设，由①可知
，∵，∴
即∴，等式两边同时除以，得，即
∴数列是以为公差的等差数列，
∴，∴
综上所述，
⑶把，代入，得，解得
∴
4． （山东题19） 12分
将数列中的全部项按每一行比上一行多一项的规章排成如下数表：
……
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
⑴证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
⑵上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的挨次均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行全部项的和．
【解析】 ⑴由已知，当时，，
又，所以，即，
所以，
又．所以数列是首项为，公差为的等差数列．
由上可知，即．
所以当时，．
因此；
⑵设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
由于，
所以表中第行至第行共含有数列的前项，故在表中第行第三列，
因此．又，所以．
记表中第行全部项的和为，
则．
5． （湖南题18） 12分
数列满足，，，．
⑴求，，并求数列的通项公式；
⑵设，．证明：当时，．
【解析】 ⑴由于，，所以，
．
一般地，当时，，
即．
所以数列是首项为、公差为的等差数列，因此．
当时，．
所以数列是首项为、公比为的等比数列，因此，
故数列的通项公式为；
⑵由⑴知，， ①
②
①②得，，
所以．
要证明当时，成立，只需证明当时，成立．
令，则，
所以当时，．因此当时，，
于是当时，．
综上所述，当时，．
6． （江西题19） 12分
等差数列各项均为正整数，，其前项和为，等比数列中，，且，数列是公比为的等比数列．
⑴求；⑵求证．
【解析】 ⑴设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得，
故；
⑵，
∴
．
7． （陕西·题22） 14分
已知数列的首项，，．
⑴求的通项公式；
⑵证明：对任意的，，；
⑶证明：．
【解析】 ⑴接受“倒数“变换．
∵，∴，∴，
又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
于是，即．
⑵由⑴知，
，
∴原不等式成立．
⑶由⑵知，对任意的，有
．
∴取，
则有．
∴原不等式成立．
8． （安徽题21） 13分
设数列满足，其中为实数，
⑴证明：对任意成立的充分必要条件是；
⑵设，证明：；
⑶设，证明：．
【解析】 ⑴必要性：
∵，∴．
又∵，∴，即；
充分性：
设，对用数学归纳法证明，
当时，．假设，
则，且，
∴，由数学归纳法知对全部成立；
⑵设，当时，，结论成立；
当时，
∵，∴，
∵，由⑴知，所以，且．
∴，
∴，
∴．
⑶设，当时，，结论成立；
当时，由⑵知，
∴，
∴
．
9． （辽宁题21） 12分
在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列
⑴求，，及，，，由此猜想，的通项公式，并证明你的结论；
⑵证明：．
【解析】 ⑴由条件得
由此可得．
猜想．
用数学归纳法证明：
①当时，由上可得结论成立．
②假设当时，结论成立，即，
那么当时，
．
所以当时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．
⑵．
时，由⑴知．
故
综上，原不等式成立．
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