高中数学(北师大版)必修四教案：2.7-品味平面向量与三角形中线的交汇.docx

品尝平面对量与三角形中线的交汇
纵观近年全国和各省市的高考卷不难发觉，高考在不断加大对平面对量与三角形中线交汇问题的考查力度.下面介绍几例, 供参考.
1、推断向量关系
例1已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点且，那么（ ）
A． B． C． D．
解析：由于D为BC边中点，所以，即 ①
又,即 ②
①+②得, ,即,
因此.故选A.
点评：这里从三角形中线向量公式动身,与已知的向量等式进行加减运算,马上获得的关系,快速实现解题目标.

2、求向量的数量积
例2在中，，，是边的中点，则
解析：
点评：这里将三角形中线向量公式与代入数量积之中，快速求出数量积的值.

3、求向量数量积的最值
例3在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_______
解析：设则
由于M为BC边中点，所以，即.
于是.
当时, 取得最小值.
点评：这里引进自变量，并运用三角形中线向量公式进行代换，建立数量积关于的目标函数，求这个目标函数的最小值即可.

4、求代数式的值
例4如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，求的值.
解析：连结则.
在中,
在中,
由于共线，所以，，因此.
点评：这里选择为一组基向量，将共线向量表示为的线性组合，利用共线向量的坐标式充要条件得到关于的等式，进而求出代数式的值.
以上介绍了平面对量与三角形中线交汇问题的四种类型,解题中主要涉及到三角形中线的向量公式、向量数量积的运算、向量的和、差、模、数乘运算、向量共线、共面定理以及与问题相关的其他学问，大家要认真体会，切实把握.