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材料力学专项习题练习 弯曲应力

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弯曲应力
1. 圆形截面简支梁A、B套成，A、B层间不计摩擦，材料的弹性模量。求在外力偶矩作用下，A、B中最大
正应力的比值有4个答案：
(A)； (B)； (C)； (D)。
答：B
2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量大于材料的抗压弹性模量，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：
答：C

3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢尺点处的应变为，则该曲面在点处的曲率半径为 mm。
答：999 mm
4. 边长为a的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大
正应力之比 。
答：
5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。
证：
,
其中：积分限为翼缘弯矩
6. 直径的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量, ，欲将其中段弯成的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。
解： 而

7. 钢筋横截面积为，密度为，放在刚性平面上，一端加力F，提起钢筋离开地面长度。试问F应多大？
解：截面曲率为零

8. 矩形截面钢条长l，总重为F，放在刚性水平面上，在钢条端作用向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。
解：在截面C处， 有

AC段可视为受均布载荷q作用的简支梁

9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。已知：钢和铝的弹性模量关系为；在纯弯曲时，应力在比例极限内。试求铝管和钢杆的最大线应变之比及最大正应力之比。
解：=
∶=2∶1
又
∶=[] ∶
10. 一根木梁的两部分用单排钉连接而成，已知惯性矩，，横截面如图示，每个钉的许用剪力，试求钉沿梁纵向的间距a。（C为形心）
解：缝间水平切应力

令
则

11. 图示一起重机及梁，梁由两根No.28a工字钢组成，可移动的起重机自重，起重机吊重，若, ，试校核梁的强度。
(一个工字钢的惯性矩 )
解：

正应力强度校核：
切应力强度校核，当轮D行至B附近时

12. 矩形截面梁的上表面受有集度为q的水平均布载荷作用，如图所示。试导出梁横截面上切应力的公式，并画出切应力的方向及沿截面高度的变化规律。
解：
13. 试证图示棱形截面的极限弯矩与屈服弯矩之比为2，即。（材料为理想弹塑性）
证：

14. 证明：图示矩形截面悬臂梁，中性层上切应力组成的合力为：，并指出这个力由什么来平衡。
证：在离自由端为x的横截面中性轴处的切应力为，由切应力互等定理知在该处中性层上的切应力为
故
这个力由固定端处下半部的正应力的合力来平衡，
15. 图示等厚度t，长l，变宽度矩形截面板条，受轴向拉力F作用。设横截面上的正应力均匀分布。试按材料力学方法证明任意x处横截面上切应力的
分布规律表达式为：。
证：从板条上x附近取一微段如图示，从中再截一小块(见图中阴影处)。设一对轴向拉力为F。由该小块的静力平衡条件，得
其中

解得
略去项，得
16. 图示截面梁对中性轴惯性矩，C为形心。
(1) 画梁的剪力图和弯矩图；
(2) 求梁的最大拉应力，最大压应力和最大切应力。
解：，
该梁的剪力图和弯矩图如图所示，
截面B下缘：
截面C下缘：
发生在截面B右中性轴处：

17. 矩形截面悬臂梁受力如图,设想沿中性层截开,列出图示下半部分的平衡条件并画出其受力图。
解：中性层以下部分的受力图如图所示。
其静力平衡条件为
，

，
，
18. 小锥度变截面悬臂梁如图，直径，试求最大正应力的位置及大小。
解：在距截面为的截面上

由 ，即 可求得
对应的发生在梁中间截面的上、下边缘，上拉下压。
19. 图示矩形截面梁，宽度不变，许用应力为，试写出强度条件表达式。
解：对于距点为处的截面上
又
所以
由 得
代入后，可求得
梁的强度条件为
20. 梁受力如图，材料的弹性模量为，已测得下边缘纵向总伸长量为，求载荷的大小。
解：
由，则
21. 矩形截面外伸梁由圆木制成，已知作用力，许用应力，长度，确定所需木材的最小直径。
解：
令， 可求得最合理的b和h为
则
由 得
22. 当力直接作用在梁中点时，梁内的最大正应力超过许用应力30%。当配置了辅助梁CD后，强度满足要求，已知梁长，试求此辅助梁的跨度a。
解：分别作无辅助梁和有辅助梁的弯矩图

所以
23. T字形截面外伸梁如图示，已知。试求该梁最合理的外伸长度。
解：
截面C ，
截面B
两截面均是拉应力较危险
令它们相等 得
24. 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力的方向垂直向下，试画出切应力流的方向。
答：弯曲中心A以及切应力流方向如图示

25. 注明以下薄壁截面杆弯曲中心的大致位置。
答：弯曲中心的大致位置如图中点A所示

26. 图示薄壁截面梁
(1)若剪力方向向下，试画出各截面上切应力流的方向；
(2)标出各截面弯曲中心点A的大致位置。

答：图中点A为弯曲中心

27. 注出下列各薄壁截面杆弯曲中心A的大致位置。
答：图中点A为弯曲中心

28. 试求图示开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置，设壁厚为t，平均半径为。
解：
切应力对O点之矩
由合力矩定理有 得
29. 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力的变化将有4种答案：
(A)不变； (B)增大一倍； (C)减小一半； (D)增大三倍。
答：B
30. 图示矩形截面采用两种放置方式，从弯曲正应力强度条件，承载能力(b)是(a)的多少倍？
(A) 2； (B) 4； (C) 6； (D) 8。
答：A
31. 图示梁，采用加副梁的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度有4种答案：
(A)； (B)； (C)； (D)。
答：D
32. 梁的截面形状如图示，圆截面上半部分有一圆孔。在平面内作用有正弯矩M，绝对值最大的正应力位置有4种答案：
(A)点a； (B)点b； (C)点c； (D)点d。
答：A
33. 图示三种截面梁，材质、截面内、全相同，试求三梁的重量比，并指出哪种截面最经济。
解：

矩形截面梁最经济。
34. 矩形截面梁顶面与底面受有大小相等方向相反的均布载荷作用。若梁截面的正应力公式和关于切应力沿截面宽度方向均匀分布的假设仍成立，试证明梁横截面上的切应力公式为：。
证：

由得
利用互等定理，
又考虑代入平衡方程，整理得横截面上公式：
35. 图示矩形截面叠层梁材料相同，若不计梁间的摩擦力，试求梁中最大切应力。
解：
又

36. 自由叠合梁如图，材料的弹性模量均为E，已测得在力偶作用下，上、下梁在交界面AB处的纵向变形后的长度之差为，若不计梁间的摩擦力，试求力偶的大小。
解：设上下梁的弯矩分别为和

两梁上下边缘应变为
上梁下边缘：
下梁上边缘：

代入上式得：
37. 材料相同的自由叠置梁尺寸及受力如图，已知材料的弹性模量E，许用应力。试求：
(1) 许可载荷；
(2) 在作用下，两梁在交界面AB处的纵向长度之差（不计梁间摩擦）
解：(1) 则
,
(2)

38. 矩形截面简支梁如图所示。梁上缘的温度为，下缘的温度为。℃且沿梁的高度按线性规律变化，材料线膨胀系数为℃，试求由温度场引起的梁的曲率半径。
解：
得
39. 图示简支梁。若横截面高度h保持不变，试根据等强度的观点确定截面宽度的变化规律。为了保证剪切强度，该梁的最小宽度应为多少？（假设材料的、为已知）
解：AC段 ，
BC与AC段对称，相同。

40. 图示圆截面梁，已知材料的许用应力及许用切应力，试按等强度梁决定梁的形状。
解：AB段

BC段：

当或时
端面A：
端面C：
41. 矩形截面木梁，，，因强度不足，在梁顶与梁底各加的钢板加固，木材与钢材的弹性模量之比，木材的许用应力，钢的许用应力，试求梁能承受的最大弯矩。
解：复合梁分区线性变化。

由
中性层曲率
得

取
42. 理想弹塑性材料梁，在极限弯矩作用下，截面上的中性轴位置有4种答案：
(A) 不存在； (B) 不过截面形心；
(C) 过截面形心； (D) 将截面分成面积相等的两部分。
答：D
43. 矩形截面悬臂梁受均布载荷q的作用，跨度为l，材料的许用应力为，截面宽度b不变，为使此梁为等强度梁，高度h的变
化规律为 。
答：
44. 变截面梁的主要优点是 ；等强度梁的条件是 。
答：在一定的强度、刚度条件下，节省材料，减轻自重。
45. 图示悬臂梁截面有两种构成方式(A)、(B)，若材料相同，从强度观点出发，梁的均布许可载荷之比 。

答：n。

46. 梁的截面如图示。材料为理想弹塑性材料，屈服极限为，则此梁的极限弯矩 。
答：。
47. 图示由木、钢两种材料组成的矩形截面弯曲梁，木、钢的弹性模量分别为，，则木材与钢材所受弯矩之比 。
答：4.2。
48. 梁受力如图所示。当载荷增大时，可能出现塑性铰的截面为 。
答：截面A，B。
49. 由理想弹塑性材料制成的梁，当截面B各点全部处于屈服状态时，A处支反力为 , 设，屈服极限为已知)。
答：。
50. 纯弯曲梁，由二种弹性模量不同()的材料粘成一整体，横截面如图所示，变形仍符合平截面假定，试证明中性轴不通过形心C。
证：设中性轴通过形心，则横截面轴力
而
因 , 而
则
即 不满足，中性轴必不通过形心。
51. 某矩形截面梁，其材料的应力应变关系在弹性范围内为，设平面假定成立，试证明该梁横截面上的最大正应力公式为：。
证：设弯曲时的曲率为k，则
故
对矩形截面：
故
52. 自由叠合梁尺寸及受力如图所示，材料的许用应力，若不考虑两梁之间的摩擦，问许用载荷为多大？
解：因 ，
故 ， 又
得
上梁
下梁

，
53. 梁由上、中、下三层牢固粘合而成，上下层材料的弹性模量为，中间层的弹性模量为，推导此梁在纯弯曲时，横截面上正应力的计算公式。
解：对各层均有
中间层中
上下层中
由
54. 纯弯曲矩形截面梁，用应力应变关系为的材料制成，其中B、n均为常数。若平面假设成立，且中性轴仍过截面形心，试导出n为奇数时正应力的计算公式。
解：由 , 得
又
当n为奇数时，

55. 某材料拉伸时的应力应变曲线为：，、是材料常数，压缩时的应力应变曲线与拉伸相同。若平面假设成立，最大线应变为，试导出矩形截面梁所受弯矩M的公式。
解：因 ， 当 时，有

56. 一简支梁跨度，中间承受集中力，截面为矩形，高，宽，设材料为理想弹塑性，其屈服极限，试问：
(1) 梁中间截面完全屈服时F是多大；
(2) 若将F卸至零，梁内残余最大正应力和边缘正应力各为多少。
解：(1) 由 ， 得
(2) 弹性卸载
(边缘)， (中间)
两图相减
最大残余应力在中性轴处
边缘残余应力
57. 一T形截面梁，设。梁材料为理想塑性其屈服极限为，试求此梁的极限弯矩与刚出现塑性变形时的弯矩之比。
解：由 ，
略去项，得

又由 得
极限状态，中性轴在翼腹交界处，
由 (略去项) 得
58. 图示矩形截面简支梁，材料为理想弹塑性，在外力F作用达到极限弯矩时，中间形成塑性铰，试求塑性区半长C，其b、h、l、F为已知。
解：跨中截面：
距跨中为c的截面：
因 , 得
59. 图示矩形截面简支梁，已知理想弹塑性材料的屈服极限，试求使跨中截面顶部及底部的屈服深度达到时的载荷值。
解：由

故
60. 图示箱式截面梁，已知材料为理想弹塑性且屈服极限，试求：
(1) 极限弯矩；
(2) 弹性最大弯矩；
(3) 二者的比值。7
解：

61. 已知某材料为理想弹塑性材料，屈服极限，安全因数，试按极限弯矩设计矩形截面尺寸。设。
解：梁内
极限弯矩
由
得
62. 矩形截面纯弯曲梁如图示。已知材料的拉伸弹性模量为，压缩弹性模量为，且。设纯弯曲时平面假设仍成立，已知梁截面宽度b，高h，受拉边高，受压边高，试导出中性轴位置及弯曲正应
力公式。
解：几何关系：
物理关系：
由
解得
由
而
故
解得
63. 图示矩形纯弯曲梁是由两种材料牢固粘合而成，它们的弹性模量分别为和，若以胶合面为中性层，试计算和的比值。
解：由
故
64. 一正方形截面梁，其水平对角线为中性轴，若削去顶和底的棱角，是否可以提高梁的强度？当为何值时，其弯曲截面系数最大？
解：小棱角对z轴的惯性矩为
削去顶和底的棱角后的面积对z轴的惯性矩为

对应的弯曲截面系数
令，得
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