高中数学(北师大版)必修五教案：2.2-典例例题：三角形中的有关问题.docx

解三角形三角形中的有关问题1正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 已知两角和一边，求其他两边和一角； 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角 2余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 已知三边，求三角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角3三角形的面积公式： 典型例题例1. 在ABC中，已知a，b，B45，求角A、C及边c解 A160 C175 c1A2120 C215 c2变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ）A B C D解：B 提示：利用余弦定理（2）在ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.B. C.D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在ABC中，已知，则的值为（ ）A B C 或 D 解：A 提示:在ABC中，由 知角B为锐角（4）若钝角三角形三边长为、，则的取值范围是 解： 提示：由可得（5）在ABC中，= 解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得例2. 在ABC中，若 sinA2sinB cos C， sin2Asin2Bsin2C，试推断ABC的外形解：sinA2sinBcosCsin(BC)2sinBcosCsin(BC)0BCsin2Asin2Bsin2Ca2b2c2A90 ABC是等腰直角三角形。变式训练2：在ABC中，sinA=，推断这个三角形的外形.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.例3. 已知在ABC中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C解：由sinA(sinBcosB)sinC0，得sinAsinBsinAcosBsin(AB)0，所以sinB(sinAcosA)0B(0, ), sinB0, cosAsinA，由A(0, )，知A从而BC，由sinBcos2C0得sinBcos2(B)0cos(2B)cos2(2B)cos(2B)sin2B得sinBsin2B0，亦即sinB2sinBcosB0，由此各cosB，B，CA B C变式训练3：已知ABC中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC外接圆半径为.（1）求C；（2）求ABC面积的最大值.解：（1）由2（sin2Asin2C）=（ab）sinB得2（）=（ab）.又R=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=.又0C180，C=60.（2）S=absinC=ab=2sinAsinB=2sinAsin（120A）=2sinA（sin120cosAcos120sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2Acos2A+=sin（2A30）+.当2A=120，即A=60时，Smax=.例4. 如图，已知ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G设MGA()(1)试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；(2)求y的最大值与最小值解 (1) AG， 由正弦定理得，ANCBDMG（，(2)当当变式训练4：在在ABC中，所对的边分别为，且（1）求的值；（2）若，求的最大值；解：（1）由于，故 （2） 又，当且仅当时， ，故的最大值是