高中数学(北师大版)必修五教案：2.2-典例例题：三角形中的有关问题.docx

解三角形
三角形中的有关问题
1．正弦定理：
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；
⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．
2．余弦定理：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．
⑴ 已知三边，求三角；
⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．
3．三角形的面积公式：
典型例题
例1. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c．
解 A1＝60° C1＝75° c1＝
A2＝120° C2＝15° c2＝
变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ）
A． B． C． D．
解：B 提示：利用余弦定理
（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）
A. B.
C. D.
解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解
（3）在△ABC中，已知，，则的值为（ ）
A B C 或 D
解：A 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角
（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ．
解： 提示：由可得
（5）在△ABC中，= ．
解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得
例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin2A＝sin2B＋sin2C，试推断△ABC的外形．
解：sinA＝2sinBcosC
sin(B＋C)＝2sinBcosC
sin(B－C)＝0B＝C
sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2
∠A＝90°
∴ △ABC是等腰直角三角形。
变式训练2：在△ABC中，sinA=，推断这个三角形的外形.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.

例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．
解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，
所以sinB(sinA－cosA)＝0
∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0
cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B
得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝
∴A＝ B＝ C＝
变式训练3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为.
（1）求∠C；
（2）求△ABC面积的最大值.
解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得
2（－）=（a－b）.
又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.
（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.
例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()．
(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；
(2)求y＝的最大值与最小值．
解 (1) AG＝，∠
由正弦定理得，
A
N
C
B
D
M
G

（
，
(2)
∵∴当
当
变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
解：（1）由于，故

（2）
又，当且仅当时， ，故的最大值是