工科物理大作业10-气体动理论教学提纲.doc

工科物理大作业10-气体动理论

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10
10 气体动理论

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一、选择题
（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）
1. 两种摩尔质量不同的理想气体，它们的压强、温度相同，体积不同，则下列表述中正确的是：
A. 单位体积内的分子数相同；
B. 单位体积中气体的质量相同；
C. 单位体积内气体的内能相同；
D. 单位体积内气体分子的总平均平动动能相同。 （A、D）
[知识点] 理想气体状态方程及内能公式。
[分析与解答] 根据理想气体状态方程，当气体的压强与温度相同时，单位体积内的分子数n相同。
由理想气体状态方程，得，即当气体压强与温度相同，但摩尔质量不同时，单位体积中气体的质量不相同。
又由理想气体内能公式，结合状态方程，得，则有，可见当压强相同的两种理想气体的自由度相同（即为同结构分子）时，单位体积内气体的内能才会相同。
理想气体分子的平均平动动能，则有，则当气体的压强相同时，单位体积内的气体分子的总平均平动动能相同。

2. 以a代表气体分子的方均根速率，r 表示气体的质量体密度。则由气体动理论可知，理想气体的压强p为：
A. ； B. ； C. ； D. 。 （C）
[知识点] ，
[分析与解答] 由方均根速率的定义和题意有
（1）
由理想气体状态方程 (2)
由题意 （3）
联立以上三式，则有

3. 对处于平衡状态下的一定量某种理想气体，在关于内能的下述表述中，正确的是：
A. 内能是所有分子平均平动动能的总和；
B. 气体处于一定状态，就相应有一定的内能；
C. 当理想气体状态改变时，内能一定随着变化；
D. 不同的理想气体，只要温度相同，其内能也相同。 （B）
[知识点] 内能的概念及内能公式。
[分析与解答] 内能就是反映理想气体宏观状态的一个重要的状态参数，气体处于一定状态，就相应有一定的内能；理想气体的内能是所有分子的各类动能（包括平动动能、转动动能）的总和。
由理想气体的内能公式，对一定量的理想气体，只有自由度i和温度T相同的理想气体，其内能才相同；对自由度一定的理想气体，内能只是温度的单值函数，若只是压强p、体积V的状态变化，而温度T不变，内能同样也不会变化。

4. 对于麦克斯韦速率分布中最概然速率vp的正确理解是：
A. vp是大部分气体分子具有的速率；
B. vp是速率分布函数的最大值；
C. vp是气体分子可能具有的最大速率；
D. vp附近单位速率间隔内分子出现的概率最大。 （D）
[知识点] 最概然速率vp的物理意义。
[分析与解答] 最概然速率的物理意义为“在一定温度下，在vp附近单位速率间隔内分子出现的概率最大”，而“分子速率分布函数取极大值时所对应的速率就是vp”。
气体分子可能具有的速率范围为0～∞，只是如果把速率范围分成许多相等的小区间，则分布在vp所在区间的分子概率最大，而分子速率分布中最大速率应是无穷大。

5. 在麦克斯韦速率分布中，vp为气体分子的最概然速率，np 表示在vp附近单位速率间隔内的气体分子数，设麦克斯韦速率分布曲线下的面积为S。若气体的温度降低，则
A. vp变小，np不变，S变大； B. vp，np，S均变小；
C. vp变小，np变大，S不变； D. vp，np均变大，S不变。 （C）

图10-1
[知识点] 速率分布曲线。
[分析与解答] ，

按照麦克斯韦分布函数的归一化条件，麦克斯韦速率分布曲线下的总面积不变。当气体的温度T下降时，气体分子的最概然速率减小；由于曲线下的总面积S不变，分布曲线在宽度减小的同时，高度会增大，即此时，必升高（由图10-1也可看出），则也会变大。

6. 一定量某理想气体贮于容器中，温度为T，气体分子的质量为m，则根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速率在x轴方向的分量二次方的平均值为：
A.； B.；
C.； D. 。 （D）
[知识点] 理想气体的统计假设。
[分析与解答] 由理想气体的统计假设，有
又因为
所以 （1）
又由分子的平均平动动能的定义
（2）
联立式（1）和式（2），则有

7. 某理想气体在平衡态（温度为T）下的分子速率分布曲线如图10-2所示，图中A、B两部分面积相等，则图中v0的正确判断为：
A. 平均速率；
B. 最概然速率；
C. 方均根速率；
D. 速率大于和小于的分子数各占总分子数的一半。 （D）

图10-2
[知识点] 速率分布曲线的理解。
[分析与解答] 曲率分布曲线下的总面积

由题意知
而

即速率小于的分子数占总分子数的一半。

即速率大于的分子数占总分子数的一半。

8. 在麦克斯韦速率分布律中，为速率分布函数，则速率的分子平均速率的表达式为：
A. ； B. ；
C. ； D. 。 （D）
[知识点] 表达方法及相关积分式的意义。
[分析与解答] 速率的分子的平均速率表达式为

式中表示的分子的速率总和，表示的分子数的总和。

9. 两个容积相同的容器中，分别装有He气和H2气，若它们的压强相同，则它们的内能关系为：
A. ； B. ；
C. ； D. 无法确定。 （C）
[知识点] 和
[分析与解答] 由理想气体的状态方程与理想气体的内能公式，可将内能表示为

He气和H2气容积相等，压强相同，它们的内能仅由自由度数i决定，He气体是单原子分子i=3，H2气是双原子分子i=5，则。

10. 容积固定的容器中，储有一定量某理想气体，当温度逐渐升高时，设分子的有效直径保持不变，则分子的平均自由程和平均碰撞频率的变化为：
A. 、均增大； B. 、均减小；
C. 、均不变； D. 不变，增大。 （D）
[知识点] 平均自由能和平均碰撞频率。
[分析与解答] 分子的平均自由程，d为分子直径，n为分子数密度。
分子的平均碰撞频率与平均自由程的关系为
式中为分子的平均速率，。
根据题意，体积V不变，一定量的理想气体即气体质量m不变，单位体积中的分子数即分子数密度n不变，分子的平均自由程不变。当温度升高时，分子的平均速率增大，导致增大。

二、填空题
1. 一定量某理想气体处在平衡状态时，其状态可用 压强p， 温度T 和体积V 3个宏观状态量来表述。三者的关系（即状态方程）为 。
[知识点] 状态量与状态方程。

2. 理想气体压强的微观（统计）意义是：大量分子热运动、连续不断碰撞器壁的宏观表现；压强公式可表示为 。
温度是：大量分子平均平动动能 的量度，其关系式为 。
[知识点] 压强p和温度T的微观意义。

3. 下列各式所表达的意义是：
为 分子的平均平动动能 ；
为 每个自由度上分配的平均动能 ；
为 自由度为i的分子的平均动能 ；
为 1mol自由度为i的分子的理想气体的内能 ；
为 摩尔自由度为i的分子的理想气体的内能 。
[知识点] 各种能量的概念及表示
4. 下面左侧列出了5个与气体分子的速率分布函数有关的表达式，右侧是其五种解释。请用连线的方法把对应关系表示出来。
分子的平均平动动能
分子的数密度
在～间隔内分子的速率之和
分子的平均速率
在～间隔内的分子数
[知识点] 分布函数及相关表达式的意义。
[分析与解答] 根据将所列表达式变换后再说明其物理意义。
分子的平均速率
在～间隔内分子的速率之和
分子的平均平动动能
分子的数密度
在～间隔内的分子数

5. 一容器内贮有氧气，其压强，温度℃，其分子数密度 ；若在同样的温度下，把容器抽成的真空（这是当前可获得的极限真空度），则此时的分子数密度为。
[知识点] 应用及数值计算。
[分析与解答] 由理想气体状态方程知

当，则此时分子数密度为

6. 由于热核反应，氢核聚变为氦核。在太阳中心氢核和氦核的质量百分比约为35％和65％，太阳中心处的温度约为，密度为，则氢核的压强Pa；氦核的压强Pa；太阳中心的总压强Pa。
[知识点] 状态方程的应用，道尔顿定律。
[分析与解答] 由状态方程，得
对氢核有

对氦核有

由道尔顿定律，总压强为

7. 2mol氢气（双原子分子）在℃时的分子平均平动动能J；平均总动能J；内能J。
若将温度升高℃时，其内能增量J。
[知识点] 平均平动动能、平均动能及内能的数值计算。
[分析与解答] H2是双原子分子气体，。
平均平动动能为
平均总动能
内能
当温度升高1℃时，其内能增量为

8. 当温度 K时，氧气分子的方均根速率等于其离开地球表面的逃逸速度11.2km/s。
[知识点] 方均根速率的计算。
[分析与解答] 分子的方均根速率为，当氧气分子的方均根速率等于其离开地球表面的逃逸速率时，即

可解得

图10-3
9. 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如图10-3所示，其中曲线①为 氧 气的速率分布曲线； 氢 气的最概然速率较大；从图中可知，曲线①气体的最概然速率为，则其方均根速率为，而曲线②气体的最概然速率为。
[知识点] 与的关系。
[分析与解答] 气体分子速率分布曲线上最大值对应的速率是最概然速率，，即反比于M，当温度一定时，摩尔质量M大的气体分子的最概然速率最小，摩尔质量M小的气体分子的最概然速率大。所以氢气的最概然速率较大，而的速率分布曲线①为氧气的。
则对氧气，最概然速率，而
则得
其方均根速率

对氢气，其最概然速率为

10. 根据玻耳兹曼分布律，当温度T恒定时，处于一定速度区间的坐标区间的分子数与因子 成正比，总能量E愈高的状态，分子占有该状态的概率就 越小 ，因此，从统计观点看，分子总是优先占据 低能量 状态。
[知识点] 玻耳兹曼能量分布规律。

三、简答题
试用统计观点说明：一定量的理想气体，当体积不变时，若温度升高，则压强将增大。
[解答] T升高，大量分子的平均平动动能增大，即增大，也增大，虽然n不变，但分子碰撞器壁的次数会增加，每次碰撞的冲量也增大，故压强p会增大。

四、计算与证明题
1. 在容积为V = 2×10-3m3的容器内，盛有m = 0.01kg的氧气，其压强为p = 9.07×104Pa。试求：
（1）氧气分子的方均根速率；
（2）单位体积内的分子数；
（3）氧气分子的平均动能；
（4）氧气分子的平均自由程和连续两次碰撞的平均时间间隔（已知氧分子的有效直径为2.9×10-10m）。
[分析与解答] （1）由理想气体的状态方程可得

所以，氧气分子的方均根速率为

（2）由理想气体的状态方程可得

（3）氧气为双原子分子，，则其平均动能为

（4）分子的平均自由程为

平均碰撞频率为

连续两次碰撞的平均时间间隔为

2. 在容积为V的容器中，盛有质量的两种单原子理想气体，它们的摩尔质量分别为和，处于平衡态时（温度为T），它们的内能均为E。试证明：此混合气体的压强.
[证明] 单原子理想气体，。由题设条件，内能为

即
而由理想气体状态方程得 ，
按道尔顿定律有
证毕。

3. 有N个气体分子，其速率分布函数为
，（）
，（，）
式中为已知常数，a为待求常数，试求：
（1）作～v分布曲线，并确定分布函数中的常数a；
（2）速率大于和小于的气体分子数；
（3）分子的平均速率。
[分析解答]
图10-4
（1）～v分布曲线如图10-4所示。
由归一化条件有

所以，
（2）的气体分子数为

的气体分子数为
（3）由统计平均值的定义可得平均速率为

4．火星的逃逸速度为，其表面温度为240K；木星的逃逸速度为，其表面温度为130K。由此说明，为什么火星表面大气中96％是CO2，而H2极少；而木星表面大气中76％是H2，其余为He？（提示：计算相关气体的方均根速率加以分析。CO2的摩尔质量为，H2的摩尔质量为，He的摩尔质量为）
[分析与解答] 在火星上，CO2与H2的方均根速率分别为：

CO2的运动速率要远远小于火星的逃逸速度，而H2的运动速率更接近火星的逃逸速度，表明在火星上，H2更容易逃逸。
而在木星上，H2与He的方均根速率分别为

表明在木星上H2和He都不易逃逸。
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