资源描述
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D.＝＝－1－i.
2．如图，在复平面内，对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则P0对应的复数为( )
A．1－i B．1－2i
C．－1－i D．－i
解析：选D.要求P0对应的复数，依据题意，只需知道，而＝＋，从而可求P0对应的复数．
∵＝，对应的复数是－1，
∴P0对应的复数，
即对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.
3．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的回归直线方程为＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要( )
A．6.5 h B．5.5 h
C．3.5 h D．0.5 h
解析：选A.＝0.01×600＋0.5＝6.5.故选A.
4．由数列1,10,100,1 000，…，猜想该数列的第n项可能是( )
A．10n B．10n－1
C．10n＋1 D．11n
解析：选B.由1,10,100,1 000，…得an＝10n－1，则第n项为10n－1.
5．下列函数中，对于函数y＝f(x)定义域内的任意x，y，都有f(x＋y)＝f(x)f＋ff(y)成立的是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝cos x
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝ax＋b(a≠0)
解析：选A.由两角和的正弦公式可知A正确；
对于B中的函数f(x)＝cos x，
当x＝y＝时，f(x＋y)＝cos ＝0，
而f(x)f＋ff(y)
＝cos cos＋coscos＝1，
即等式不成立；
同理可以举出反例说明C，D选项错误．
6．(2022·四川高考卷)执行如图的程序框图，假如输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.当x＋y≤1时，
由线性规划的图解法知，
目标函数S＝2x＋y的最大值为2，
否则，S的值为1.
所以输出的S的最大值为2.
7．若α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.其中是α∥β的充分条件的有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选C.①是；
②α，β也有可能相交，所以不是；
③α，β也有可能相交，所以不是；
④依据异面直线的性质可知④是，
所以是α∥β的充分条件的有2个．
8．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a<b”类比推出“若a2<b2，则a<b”；
②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“＝＋(c≠0)”；
③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；
④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b”．
其中结论正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①明显是错误的；
由于复数不能比较大小，
所以④也是错误的，②③正确，故选B.
9．若列联表如下：
色盲
不色盲
总计
男
15
20
35
女
12
8
20
总计
27
28
55
则K2的观测值k约为( )
A．1.49 7 B．1.64
C．1.59 7 D．1.71
解析：选A.由题意利用独立性检验的公式得
k＝≈1.49 7.
10．已知在整数集Z中，被5除所得余数为k的全部整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 014∉[3]；
②－2∈[2]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由于2 014＝402×5＋4，所以2 014∉[3]，①正确．－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确．③由于整数集中的数被5除的余数可以且只可以分成五类，所以③正确．整数a，b属于同一“类”，由于整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个．
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．(2022·高考上海卷)复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则(z＋)·＝__________.
解析：∵z＝1＋2i，
∴＝1－2i，
∴(z＋)＝(1－2i)
＝(1＋2i)(1－2i)＋
＝1－4i2＋1
＝2＋4＝6.
答案：6
12．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可推断乙去过的城市为____________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
13．(2022·杭州高二检测)无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推，记该数列为{an}，若an－1＝20，an＝21，则n＝________.
解析：将1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…分组成{1}，{2,2}，{3,3,3}，{4,4,4,4}，{5，…}，….
第1组有1个数，第2组有2个数，以此类推…明显an－1＝20在第20组，an＝21在第21组．
易知，前20组共×20＝210个数，所以，n＝211.
答案：211
14．(2022·盐城测试)某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制了对比表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得回归直线方程＝x＋中＝－2，猜想当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．
解析：＝10，＝40，
回归方程过样本中心点(，)，
∴40＝－2×10＋，
∴＝60.
∴＝－2x＋60.
令x＝－4，
∴＝(－2)×(－4)＋60＝68.
答案：68
15．观看如图所示的散点图，下列说法中正确的为________(填序号)．
①x，y是负相关关系；
②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关指数为R，用y＝bx＋a拟合时的相关指数为R，则R>R；
③x、y之间不能建立线性回归方程．
解析：①明显正确；由散点图知，用y＝c1ec2x拟合的效果比用y＝bx＋a拟合的效果要好，则②正确；x，y之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故③不正确．
答案：①②
三、解答题(本大题6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)已知关于复数z的方程z2－(a＋i)z－(i＋2)＝0(a∈R)．
(1)若此方程有实数解，求a的值；
(2)用反证法证明：对任意的实数a，原方程不行能有纯虚根．
解：(1)设z＝x0∈R，
代入方程得x－(a＋i)x0－(i＋2)＝0，
即(x－ax0－2)＋(－x0－1)i＝0，
∴
解得
∴a＝1.
(2)证明：假设方程有纯虚根z＝bi(b∈R且b≠0)，
则有(bi)2－(a＋i)·bi－(i＋2)＝0，
整理得(－b2＋b－2)＋(－ab－1)i＝0，
∴⇒
∵方程①中Δ＝－7<0，
∴方程组无解．
即不存在实数b使方程①成立．
∴假设不成立，
从而原方程不行能有纯虚根．
17．(本小题满分12分)设a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝3求证：
＋≤.
证明：法一：(综合法)
∵a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝3，
∴2
＝2＋(a＋b)＋2
＝5＋2
≤5＋(1＋a＋1＋b)＝10，
∴＋≤.
法二：(分析法)
由于a>0，b>0且a＋b＝3，
∴要证：＋≤，
只要证：2≤10，
即证2＋a＋b＋2≤10，
即证2≤5，
只需证4(1＋a)(1＋b)≤25，
即证4(1＋a＋b＋ab)≤25，
只需证4ab≤9，
即证ab≤，
∵ab≤2＝，
∴＋≤，
当且仅当a＝b时等号成立．
18．(本小题满分12分)(2022·临沂高二检测)数学建模过程的流程图如图所示，依据这个流程图，说明数学建模的过程．
解：数学建模的过程：依据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，若合乎实际，则为可用结果，若不合乎实际，则进行修改后重新提出问题．
19．(本小题满分13分)在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：
1
2
3
4
5
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知iyi＝62，＝16.6.
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)如价格定为1.9万元，猜想需求量大约是多少？
解：(1)散点图如图所示．
(2)由于＝×9＝1.8，
＝×37＝7.4，
iyi＝62，＝16.6，
所以＝
＝
＝－11.5，
所以＝－＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y对x的线性回归方程为＝28.1－11.5x.
(3)＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
所以价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25t.
20．(本小题满分13分)为了调查40岁以上的人患胃病是否与生活规律有关，对某地540名40岁以上的人进行了调查，结果如下：
患胃病
不患胃病
总计
生活无规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
总计
80
460
540
依据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关系？
解：依据公式得K2的观测值
k＝≈9.638>6.635，
因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关．
21．(本小题满分13分)设{an}是公差大于零的等差数列，已知a1＝2，a3＝a－10.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是以函数y＝4sin2πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{an－bn}的前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公差为d(d>0)，
则
解得或(舍去)
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)∵y＝4sin2πx＝4×＝－2cos2πx＋2，
其最小正周期为＝1，
故{bn}的首项为1；
由于公比为3，
从而bn＝3n－1，
所以an－bn＝2n－3n－1.
故Sn＝(2－30)＋(4－31)＋…＋(2n－3n－1)
＝－
＝n2＋n＋－·3n.
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