2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-12-3-Word版含解析.docx

应用数学归纳法解决证明问题的易误点
[典例]　(2021·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N＋)．
(1)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
(2)设x>0，y>0，且x＋y＝1，证明：＋≤.
[审题视角]　1.在解答本题时有以下易误点
(1)在代入n＝1,2,3时，不能精确     求得a1，a2，a3，从而猜想不出an.
(2)证明不等式时，不会应用x＋y＝1这一条件代换，导致无法证明不等式成立．
[解析]　(1)分别令n＝1,2,3，
得
∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3.
猜想：an＝n.
由2Sn＝a＋n.①
可知，当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)．②
①－②，得2an＝a－a＋1，
即a＝2an＋a－1.
(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，
∵a2>0，∴a2＝2.
(ⅱ)假设当n＝k(k≥2)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，
a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1
⇒[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，
∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，
∴ak＋1＝k＋1.
即当n＝k＋1时也成立．
∴an＝n(n≥2)．
明显n＝1时，也成立，故对于一切n∈N＋，均有an＝n.
(2)要证＋≤，
只要证nx＋1＋2＋ny＋1≤2(n＋2)．
即n(x＋y)＋2＋2≤2(n＋2)，
将x＋y＝1代入，得2≤n＋2，
即只要证4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，
即4xy≤1.
∵x>0，y>0，且x＋y＝1，∴≤＝，
即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．

解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”及不等式证明问题时，还有以下几点简洁造成失分
(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．
(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽视了利用假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．
(3)不等式证明的过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．
另外需要娴熟把握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．

1．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2)．
解：(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－
＝2－.
即n＝k＋1时命题成立，由(1)，(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2时均成立．