江苏省盐城市2021届高三第三次模拟考试-数学-Word版含答案.docx

盐城市2021届高三班级第三次模拟考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知集合，集合，则 ▲ .
第3题
2.若复数是纯虚数，其中为实数，为虚数单位，则的共轭复数
▲ .
3.依据如图所示的伪代码，则输出的的值为 ▲ .
4.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，
则的值为 ▲ .
5.某单位有840名职工, 现接受系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数为 ▲ ．
6.某公司从四名高校毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人被录用的概率为 ▲ ．
7.若满足约束条件, 则目标函数的最大值为 ▲ ．
8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为 ▲ .
9.若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为 ▲ .
10.动直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，的值为 ▲ .
11.若函数，则是函数为奇函数的 ▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
12.在边长为1的菱形中，，若点为对角线上一点，则的最大值为
▲ .
13.设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为 ▲ ．
14.若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分14分)
已知，，记函数.
（1）求函数取最大值时的取值集合；
（2）设的角所对的边分别为，若，，求面积的最大值.

16．(本小题满分14分)
第16题
在直三棱柱中，，，点分别是棱的中点.
（1）求证://平面；
（2）求证:平面平面.

17．(本小题满分14分)
某地拟建一座长为米的大桥，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩、造价总共为万元，当相邻两个桥墩的距离为米时（其中），中间每个桥墩的平均造价为万元，桥面每1米长的平均造价为万元.
（1）试将桥的总造价表示为的函数；
（2）为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩、除外)应建多少个桥墩？
第17题

18. (本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点. 当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，点在第一象限且横坐标为，连结点与原点的直线交椭圆于另一点，求的面积；
第18题
（3）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由.

19．(本小题满分16分)
设函数，.
（1）当时，函数与在处的切线相互垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数,使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.

20．(本小题满分16分)
设函数（其中），且存在无穷数列，使得函数在其定义域内还可以表示为.
（1）求（用表示）；
（2）当时，令，设数列的前项和为，求证：；
（3）若数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式.

盐城市2021届高三班级第三次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）
在中，已知是的平分线，的外接圆交于点.若，，求的长.

B.（选修4—2：矩阵与变换）
若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵的逆矩阵.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），试推断直线与曲线的位置关系，并说明理由.

D．(选修4-5：不等式选讲）
已知为正实数，求证：，并求等号成立的条件.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分10分）
如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足.
（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小为，求的值.

23．（本小题满分10分）
设.
（1）若数列的各项均为1，求证：；
（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列.

盐城市2021届高三班级第三次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 2. 3. 15 4. 1 5. 6. 7. 6
8. 9. 10. 11. 充分不必要 12. 13. 14. 5
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）由题意，得，
当取最大值时，即，此时，
所以的取值集合为.……………………………………7分
（2）因，由（1）得，又，即，
所以，解得，在中，由余弦定理，
得，所以，所以面积的的最大值为.…14分
16. 证明：（1）在直三棱柱中，且，
因点分别是棱的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，即且，
又且，所以且，即四边形是平行四边形，
所以，又平面，所以平面.………………7分
（2）因，所以四边形是菱形，
所以，又点分别是棱的中点，即，所以.
由于，点是棱的中点，所以，
由直三棱柱，知底面，即，
所以平面，则，所以平面，又平面，
所以平面平面…………………………………………14分
17．解：（1）由桥的总长为米，相邻两个桥墩的距离为米，知中间共有个桥墩，
于是桥的总造价，
即
（）………………………………7分
（表达式写成同样给分）
（2）由（1）可求，整理得，
由，解得，（舍），又当时，；当 时，，所以当，桥的总造价最低，此时桥墩数为…………………………14分
18．解：（1）由，设，则，，
所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，
所以椭圆的方程为………………………………5分
（2）将代入，解得，因点在第一象限，从而，
由点的坐标为，所以，直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，解得，
又过原点，于是，，所以直线的方程为，
所以点到直线的距离，………………10分
（3）假设存在点，使得为定值，设，
当直线与轴重合时，有，
当直线与轴垂直时，，
由，解得，，
所以若存在点，此时，为定值2. …………………………………………12分
依据对称性，只需考虑直线过点，设，，
又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，
化简得，所以，，
又，
所以，
将上述关系代入，化简可得.
综上所述，存在点，使得为定值2……………16分
19．解：（1）当时，，在处的切线斜率，
由，在处的切线斜率，，.……………4分
（2）易知函数的定义域为，
又，
由题意，得的最小值为负，（注：结合函数图象同样可以得到），，，（注：结合消元利用基本不等式也可）.……………………9分
（3）令，其中
则，设

在单调递减，在区间必存在实根，不妨设
即，可得（*）
在区间上单调递增，在上单调递减，所以，
，代入（*）式得
依据题意恒成立.
又依据基本不等式,,当且仅当时,等式成立
所以,.代入（*）式得,,即………………16分
(以下解法供参考，请酌情给分)
解法2：，其中
依据条件对任意正数恒成立
即对任意正数恒成立
且，解得且，
即时上述条件成立此时.
解法3：，其中
要使得对任意正数恒成立，
等价于对任意正数恒成立，即对任意正数恒成立，
设函数，则的函数图像为开口向上，与正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，依据题意，抛物线只能与轴有一个交点，即，所以.
20．解:（1）由题意，得，
明显的系数为0，所以，从而，.………………………4分
（2）由，考虑的系数，则有，
得，即，
所以数列单调递增，且，
所以，
当时，.…………………………10分
（3）由（2），
因数列是等差数列，所以，所以对一切都成立，
若，则，与冲突，
若数列是等比数列，又据题意是等差数列，则是常数列，这与数列的公差不为零冲突，
所以，即，由（1）知，，所以.………16分
（其他方法：依据题意可以用、表示出，，，，由数列为等差数列，利用，解方程组也可求得.）
解法2：由（1）可知，，由于数列是等差数列，设公差为
，，.又由（2），
所以得，若即时，，，与条件公差不为零相冲突，因此则.由,可得
,整理可得
代入,,或
若,则，与冲突，
若,则,满足题意, 所以

附加题答案
B．解：由题意，得，解得，所以.
设，则，
解得，即.…………………………10分
C．解：将直线与曲线的方程化为一般方程，
得直线：，曲线：，所以曲线是以为圆心，半径为的圆，所以圆心到直线的距离，因此，直线与曲线相交. …………………………10分
22. 解：（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，.当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，
令，则，所以平面的一个法向量，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.………………5分
（2）易知平面的一个法向量.
设，代入，得，
解得，即，所以，
设平面的法向量，则，
消去，得，令，则，，
所以平面的一个法向量，
所以，解得或，由于，所以.……………10分
23. 证：（1）因数列满足各项为1，即，
由，令，
则，即..………………………3分
（2）当时，，即，所以数列的前3项成等差数列.
假设当时，由，可得数列的前项成等差数列，………………………………………………………………………5分
因对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，所以成立，
所以，
两式相减得，
，
因，
所以，
即，
由假设可知也成等差数列，从而数列的前项成等差数列.
综上所述，若对任意恒成立，则数列是等差数列. …………………10分