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第1章 统计案例
§1.1 独立性检验
课时目标1.了解独立性检验的基本思想.2.体会由实际问题建模的过程，了解独立性检验的基本方法．
1．独立性检验：用______________争辩两个对象是否有关的方法称为独立性检验．
2．对于两个争辩对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B，Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据：
Ⅱ
合计
类1
类2
Ⅰ
类A
a
b
a＋b
类B
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则χ2的计算公式是________________．
3．独立性检验的一般步骤：(1)提出假设H0：两个争辩对象没有关系；(2)依据2×2列联表计算χ2的值；(3)查对临界值，作出推断．
一、填空题
1．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
8
25
33
总计
b
46
则表中a、b处的值分别为________，________.
2．为了检验两个大事A，B是否相关，经过计算得χ2＝8.283，则说明大事A和大事B________(填“相关”或“无关”)．
3．为了考察高一班级同学的性别与是否宠爱数学课程之间的关系，在高一班级随机抽取了300名，得到如下2×2列联表．推断同学性别与是否宠爱数学________(填“有”或“无”)关系.
宠爱
不宠爱
合计
男
37
85
122
女
35
143
178
合计
72
228
300
4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2＝99.9，依据这一数据分析，下列说法正确的是________(只填序号)．
①有99.9%的人认为该栏目优秀；
②有99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关系；
③有99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；
④以上说法都不对．
5．某班班主任对全班50名同学学习乐观性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示．从表中数据分析，同学学习乐观性与对待班级工作的态度之间有关系的把握有________.
乐观参与
班级工作
不太主动参与班级工作
合计
学习乐观性高
18
7
25
学习乐观性一般
6
19
25
合计
24
26
50
6．给出下列实际问题：
①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区分；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有______．
7．下列说法正确的是________．(填序号)
①对大事A与B的检验无关，即两个大事互不影响；
②大事A与B关系越亲热，χ2就越大；
③χ2的大小是推断大事A与B是否相关的唯一数据；
④若判定两大事A与B有关，则A发生B确定发生．
8．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，接受独立性检验法抽查了3 000人，计算发觉χ2＝6.023，依据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过____________________________________________________．
二、解答题
9．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)依据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)检验性别与休闲方式是否有关系．
10．有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品．为了考察这两个工厂的产品质量的水平是否全都，从甲、乙两个工厂中分别随机地抽出产品109件，191件，其中甲工厂一等品58件，二等品51件，乙工厂一等品70件，二等品121件．
(1)依据以上数据，建立2×2列联表；
(2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别(牢靠性不低于99%)
力气提升
11．在吸烟与患肺病是否相关的推断中，有下面的说法：
①若χ2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．
其中说法正确的是________．
12．下表是对某市8所中学同学是否吸烟进行调查所得的结果：
吸烟同学
不吸烟同学
父母中至少有一人吸烟
816
3 203
父母均不吸烟
188
1 168
(1)在父母至少有一人吸烟的同学中，估量吸烟同学所占的百分比是多少？
(2)在父母均不吸烟的同学中，估量吸烟同学所占的百分比是多少？
(3)同学的吸烟习惯和父母是否吸烟有关吗？请简要说明理由．
(4)有多大的把握认为同学的吸烟习惯和父母是否吸烟有关？
1．对独立性检验思想的理解
独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应当很小，假如由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在确定程度上说明假设不合理．
2．在解题时，可以依据列联表计算χ2的值，然后参考临界值对两个变量是否独立做出推断．
第1章 统计案例
§1.1 独立性检验
答案
学问梳理
1．χ2统计量
2．χ2＝
作业设计
1．52 60
解析 由列联表知，a＝73－21＝52，
b＝a＋8＝52＋8＝60.
2．相关
3．有
解析 由列联表可得χ2＝4.514>3.841，
∴有95%的把握认为同学性别与是否宠爱数学有关．
4．③
5．99.9%
解析 χ2＝
≈11.5>10.828.
6．②④⑤
7．②
解析 对于①，大事A与B的检验无关，只是说两大事的相关性较小，并不愿定两大事互不影响，故①错．②是正确的．对于③，推断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两大事A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B确定发生，故④错．
8．0.025
9．解 (1)2×2的列联表：
休闲方式
性别
看电视
运动
合计
女
43
27
70
男
21
33
54
合计
64
60
124
(2)依据列联表中的数据得到
χ2＝≈6.201.
由于χ2>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关系．
10．解 (1)
甲工厂
乙工厂
合计
一等品
58
70
128
二等品
51
121
172
合计
109
191
300
(2)提出假设H0：甲、乙两个工厂的产品质量无显著差别．
依据列联表中的数据可以求得
χ2＝
≈7.781 4>6.635.
由于当H0成立时，P(χ2>6.635)≈0.01，所以我们有99%以上的把握认为甲、乙两个工厂的产品质量有显著差别．
11．③
解析 χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
12．解 (1)×100%≈20.3%.
(2)×100%≈13.86%.
(3)有关，由于父母吸烟与不吸烟，其子女吸烟的比例有较大的差异．
(4)提出假设H0：同学的吸烟习惯和父母是否吸烟无关．
依据列联表中的数据可以求得
χ2≈27.677>10.828.
由于当H0成立时，P(χ2>10.828)≈0.001，所以我们有99.9%以上的把握认为同学的吸烟习惯和父母是否吸烟有关．
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