《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第八章-第3讲-圆的方程.docx

第3讲圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：(，)，半径：2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2做一做1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21答案：A2点(1，1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是()A(1，1)B(0，1)C(，1)(1，) D(1，)解析：选A.点(1，1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a1.1辨明两个易误点(1)解答圆的问题，应留意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算(2)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件2待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值做一做3方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件的是()A.m1 Bm1Cm1解析：选B.由(4m)2445m0，得m1.4圆心在y轴上且经过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：选B.设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3，1)在圆上，9(1b)2b2，解得：b5.圆的方程为x2y210y0._求圆的方程_依据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(2，4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0.设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，有D24F36，由解得D2，E4，F8或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.(2)设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，依据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.规律方法求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到学校有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)代数法：依据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应当有三个独立等式1.(1)已知圆心为C的圆经过点A(0，6)，B(1，5)，且圆心在直线l：xy10上，求圆的标准方程；(2)若不同的四点A(5，0)、B(1，0)、C(3，3)、D(a，3)共圆，求a的值解：(1)法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则圆心坐标为.由题意可得消去F得，解得，代入求得F12，所以圆的方程为x2y26x4y120，标准方程为(x3)2(y2)225.法二：由于A(0，6)，B(1，5)，所以线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率kAB1，因此线段AB的垂直平分线l的方程是y，即xy50.圆心C的坐标是方程组的解，解得，所以圆心C的坐标是(3，2)圆的半径长r|AC|5，所以，圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225.(2)设过A、B、C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0，分别代入A、B、C三点坐标，得解得A、B、C三点确定的圆的方程为x2y24xy50.D(a，3)也在此圆上，a294a2550.a7或a3(舍去)即a的值为7._与圆有关的最值问题(高频考点)_与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为简洁题、中档题高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度：(1)求一次或二次式的最值；(2)求圆上的点与圆外点距离的最值；(3)求圆上的点到直线距离的最值；(4)求z的最值已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.规律方法与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题，转化为圆的圆心到点、直线的距离，再加半径、减半径求出最值；(2)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(3)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(4)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题2.已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2，3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求点M到直线xy70的最大距离；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2，7)，半径r2.(1)|QC| 4.|MQ|max426，|MQ|min422.(2)圆心C(2，7)到直线xy70的距离为d.则点M到直线xy70的最大距离为23.(3)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，2.可得2k2，的最大值为2，最小值为2._与圆有关的轨迹问题_已知圆x2y24上确定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)由于P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.规律方法求与圆有关的轨迹方程时，依据题设条件的不同常接受以下方法：(1)直接法：直接依据题目供应的条件列方程(2)定义法：依据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等3.已知在RtABC中，A(0，0)，B(6，0)，求直角顶点C的轨迹方程解：法一：依题意，顶点C的轨迹是以AB为直径的圆，且去掉端点A，B，圆心坐标为(3，0)，半径为3，故直角顶点C的轨迹方程为(x3)2y29(y0)法二：设顶点C的坐标为(x，y)，由于ACBC，故kACkBC1，1，x2y26x0，即直角顶点C的轨迹方程为(x3)2y29(y0)方法思想转化与化归思想求与圆有关的最值(2021河北唐山一中调研)已知点A(3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值解(1)设点P的坐标为(x，y)，则2.化简可得(x5)2y216，此即为所求(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|，当CQl1时，|CQ|取最小值，此时|CQ|4，则|QM|的最小值为4.名师点评本题在求最值时，利用了转化与化归及数形结合的思想，把|QM|用|CQ|表示，由|CQ|的最值确定|QM|的最值，体现了转化思想已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54B.1C62 D.解析：选A.两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.1经过点(1，0)，且圆心是两直线x1与xy2的交点的圆的方程为()A(x1)2y21B(x1)2(y1)21Cx2(y1)21 D(x1)2(y1)22解析：选B.由，得即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x1)2(y1)21.2已知C：x2y2DxEyF0，则“FE0且D0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应当大于圆C的半径，易知圆心到坐标轴的最短距离为|a|，则有|a|2，得a2.2已知两点A(0，3)、B(4，0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP面积的最小值为()A6 B.C8 D.解析：选B.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时ABP的面积最小直线AB的方程为1，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离为d，ABP的面积的最小值为5(1).3当方程x2y2kx2yk20所表示的圆的面积取最大值时，直线y(k1)x2的倾斜角_解析：由题意知，圆的半径r1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k0，r1，所以直线方程为yx2，则有tan 1，又0，)，故.答案：4(创新题)已知直线axby1(a，b是实数)与圆O：x2y21(O是坐标原点)相交于A，B两点，且AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0，1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为_解析：由于直线与圆O相交所得AOB是直角三角形，可知AOB90，所以圆心O到直线的距离为，所以a21b20，即b.设圆M的半径为r，则r|PM|(2b)，又b，所以1|PM|1，所以圆M的面积的最小值为(32).答案：(32)5(2021高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.6(选做题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在其次象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)摸索求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(xa)2(yb)28.直线yx与圆C相切于原点O，O点在圆C上，且OC垂直于直线yx，于是有或.由于点C(a，b)在其次象限，故a0，圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解之得x或x0(舍去)存在点Q(，)，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长