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第3讲 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：(－，－)，
半径：
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．
[做一做]
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
答案：A
2．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选A.∵点(1，1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，
∴－1<a<1.
1．辨明两个易误点
(1)解答圆的问题，应留意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．
2．待定系数法求圆的方程
(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[做一做]
3．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件的是( )
A.<m<1 B．m<或m>1
C．m< D．m>1
解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.
4．圆心在y轴上且经过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析：选B.设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
∵点(3，1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5.
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
__求圆的方程__________________________
依据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P(－2，4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
[解] (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P、Q点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，有D2－4F＝36，④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
依据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
[规律方法] 求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到学校有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)代数法：依据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应当有三个独立等式．
1.(1)已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程；
(2)若不同的四点A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)、D(a，3)共圆，求a的值．
解：(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为.
由题意可得
消去F得，
解得，代入求得F＝－12，
所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
法二：由于A(0，－6)，B(1，－5)，
所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝1，
因此线段AB的垂直平分线l的方程是
y＋＝－，
即x＋y＋5＝0.
圆心C的坐标是方程组的解，
解得，
所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长
r＝|AC|＝＝5，
所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设过A、B、C三点的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
分别代入A、B、C三点坐标，得
解得
∴A、B、C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0.
∵D(a，3)也在此圆上，
∴a2＋9－4a－25－5＝0.
∴a＝7或a＝－3(舍去)．
即a的值为7.
__与圆有关的最值问题(高频考点)________
与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为简洁题、中档题．
高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度：
(1)求一次或二次式的最值；
(2)求圆上的点与圆外点距离的最值；
(3)求圆上的点到直线距离的最值；
(4)求z＝的最值．
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何学问知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[规律方法] 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题，转化为圆的圆心到点、直线的距离，再加半径、减半径求出最值；
(2)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(3)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(4)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求点M到直线x＋y－7＝0的最大距离；
(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解：由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
(1)|QC|＝ ＝4.
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)圆心C(2，7)到直线x＋y－7＝0的距离为d＝＝.
则点M到直线x＋y－7＝0的最大距离为＋2＝3.
(3)可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
∴≤2.
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
__与圆有关的轨迹问题__________________
已知圆x2＋y2＝4上确定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
由于P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[规律方法] 求与圆有关的轨迹方程时，依据题设条件的不同常接受以下方法：
(1)直接法：直接依据题目供应的条件列方程．
(2)定义法：依据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
3.已知在Rt△ABC中，A(0，0)，B(6，0)，求直角顶点C的轨迹方程．
解：法一：依题意，顶点C的轨迹是以AB为直径的圆，且去掉端点A，B，圆心坐标为(3，0)，半径为3，
故直角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝9(y≠0)．
法二：设顶点C的坐标为(x，y)，
由于AC⊥BC，故kAC·kBC＝－1，
∴·＝－1，
∴x2＋y2－6x＝0，
即直角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝9(y≠0)．
方法思想——转化与化归思想求与圆有关的最值
(2021·河北唐山一中调研)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
此时|CQ|＝＝4，
则|QM|的最小值为＝4.
[名师点评] 本题在求最值时，利用了转化与化归及数形结合的思想，把|QM|用|CQ|表示，由|CQ|的最值确定|QM|的最值，体现了转化思想．
已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
解析：选A.两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.
1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选B.由，得
即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“F＝E＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为，而D可以大于0.
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：选D.由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，又圆与直线4x－3y＝0相切，可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
5．(2021·温州模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．4 B．3
C．2 D.
解析：选C.圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，由于四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.
6．假如直线l将圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．
解析：由题意，知直线l过圆心C(2，－3)，
当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，
|OC|＝＝.
答案：
7．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．
解析：设圆心坐标为M(x，y)，
则(x－1)2＋(y＋1)2＝，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9
8．(2021·太原市模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．
解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为＝3.
答案：3
9．在平面直角坐标系xOy中，求与x轴相交于A(1，0)和B(5，0)两点且半径为的圆的标准方程．
解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.
由于点A，B在圆上，所以可得到方程组：
解得
所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5
或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
法二：由于A，B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，依据平面几何学问：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)．
又AC＝，得 ＝.
解得b＝1或b＝－1.
因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5
或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上，
得a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40
或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上全部的点均在其次象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D.曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，
其为圆心为(－a，2a)，半径为2的圆，
要使圆C的全部的点均在其次象限内，
则圆心(－a，2a)必需在其次象限，从而有a>0，
并且圆心到两坐标轴的最短距离应当大于圆C的半径，
易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a|，
则有|－a|>2，得a>2.
2．已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )
A．6 B.
C．8 D.
解析：选B.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，
∴△ABP的面积的最小值为×5×(－1)＝.
3．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．
解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.
答案：
4．(创新题)已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0，1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．
解析：由于直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为＝，所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤.设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝＝＝(2－b)，又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，所以圆M的面积的最小值为(3－2)π.
答案：(3－2)π
5．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)．由已知得＝.
又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得
此时，圆P的半径r＝.
由得
此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
6．(选做题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在其次象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)摸索求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8.
∵直线y＝x与圆C相切于原点O，
∴O点在圆C上，
且OC垂直于直线y＝x，
于是有⇒或.
由于点C(a，b)在其次象限，故a<0，b>0，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
则有
解之得x＝或x＝0(舍去)．
∴存在点Q(，)，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．
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