【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：G5空间中的垂直关系.docx

G5 空间中的垂直关系【数学理卷2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平D面相互垂直， ，是线段上一点，. （）当时，求证：平面；（）求二面角的正弦值；（）是否存在点满足平面？并说明理由.【学问点】线面平行的判定；线面垂直的条件；二面角求法. G4 G5 G11【答案】【解析】（）证明：见解析；（）；（）不存在点满足平面，理由：见解析.解析：（）取中点，连接，1分 D又，所以.由于，所以,四边形是平行四边形，2分所以由于平面，平面所以平面.4分（）由于平面平面，平面平面=， 且，所以平面，所以，5分由于，所以平面.如图， 以为原点，建立空间直角坐标系.则，6分是平面的一个法向量.设平面的法向量，则，即令，则，所以, 所以，8分故二面角的正弦值为。9分.（）由于，所以与不垂直,11分所以不存在点满足平面.12分【思路点拨】（）取中点，证明四边形是平行四边形即可；（）以为原点，直线AB为x轴，直线AF为z轴，建立空间直角坐标系.通过求平面ABF的法向量与平面BEF的法向量夹角余弦值，求二面角的正弦值；（）若存在点满足平面，则AE,由推断不存在点满足平面.【数学理卷2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】18、（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点 （1）若，求证：平面平面； （2）若平面平面，且，在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。【学问点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11【答案】【解析】(1)略(2) 略 解析：（1）证明：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60，BQAD，又PQBQ=Q，AD平面PQB，又AD平面PAD，平面PQB平面PAD（2）解：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQAD，PQ平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图则Q（0，0，0），），B（0，设01，则平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），由，二面角M-BQ-C的大小为60，解得=，存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意【思路点拨】1）由已知得PQAD，BQAD，由此能证明平面PQB平面PAD（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意【数学理卷2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】3、已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A B C D 【学问点】空间中的平行与垂直关系.G4,G5【答案】【解析】D解析：错误的缘由为n也可能属于，所以A不正确，错误的缘由为n也可能与m都在平面内，错误的缘由为可能是相交平面，所以C不正确，只有D是正确选项.【思路点拨】由平行与垂直的判定定理与性质定理可得到正确结果.【数学理卷2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】19 （本小题满分12分）如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上（1）求证：（2）若，为的中点，求二面角的余弦值.【学问点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系G4 G5 G11【答案】【解析】(1) 见解析； (2) 解析：(1)证明：三棱柱 为直三棱柱，平面，又平面， -平面，且平面， . 又 平面,平面,，平面， 又平面， 5分 (2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系 平面，其垂足落在直线上, .在中，AB=2，,在直三棱柱 中，. 在中， , 则(0,0,0),C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则 即 可得 设平面的一个法向量 则 即可得 平面与平面的夹角的余弦值是 12分（或在中，AB=2,则BD=1 可得D( 平面与平面的夹角的余弦值是 12分）【思路点拨】(1) 由已知得平面，由此能证明 (2) 由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值【数学理卷2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】18（12分）在四棱锥中， ，点是线段上的一点，且，（1）证明：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值【学问点】面面垂直的判定；线面角的求法. G5 G11【答案】【解析】(1)略(2) 解析：（1）由，得，又由于，且，所以面， 4分且面所以，面面。 6分（2）过点作，连结，由于，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角 9分在四棱锥中，设，则，从而，即直线与平面所成角的正弦值为【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需证其中一个平面内的直线垂直于另一平面，对于本题，只需证明PMAB，可由ABPPBM证明PMAB；（2）过点作，连结，证明平面平面，过点作，则为直线与平面所成角在四棱锥中，设，则，从而.【数学文卷2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】19. （本小题12分）如图1，在直角梯形中，且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2（1）求证：平面;（2）求证：;（3）求点到平面的距离. 【学问点】线面平行 线面垂直 点到平面的距离G4 G5 G11【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3） 解析：（1）证明：取中点，连结 在中，分别为的中点， 所以，且 由已知，所以，且 所以四边形为平行四边形所以又由于平面，且平面，所以平面 （2）在正方形中，又由于平面平面，且平面平面，所以平面 所以 在直角梯形中，可得在中，所以所以所以平面 （3）：平面,所以，所以又，设点到平面的距离为则，所以，所以点到平面的距离等于.【思路点拨】证明线面平行及线面垂直主要利用其判定定理进行证明，求点到平面的距离，若直接求距离不便利时，可利用三棱锥的等体积法求距离.【数学文卷2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】6已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题：若，则；若则若是两条异面直线，则若则. 其中正确命题的个数是（ ）A1B2C3D4【学问点】空间平行与垂直关系G4 G5【答案】【解析】C 解析：若，则直线n与平面平行或在平面内，所以错误；若，则n,垂直于同始终线的两面平行，所以，则正确；若是两条异面直线，过直线m上任意一点作直线kn，则m,k确定一个平面，若，则，所以，则正确；由两面垂直的判定定理可知正确，综上可知选C【思路点拨】推断线线、线面、面面位置关系问题，生疏它们的判定定理与性质定理是解题的关系，能直接用定理推断或推导的可直接推断，无法推导的可考虑反例法排解.【数学文卷2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】18（12分）在四棱锥中， ，点是线段上的一点，且，（1）证明：面面； （2）求直线与平面所成角的正弦值【学问点】面面垂直的判定；线面角的求法. G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）. 解析：解：（1）由，得，又由于，且，所以面， 4分且面所以，面面.6分（2）过点作，连结，由于，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线与平面所成角 9分在四棱锥中，设，则，从而，即直线与平面所成角的正弦值为 12分【思路点拨】（1）要证面面垂直，只需证其中一个平面内的直线垂直于另一平面，对于本题，只需证明PMAB，可由ABPPBM证明PMAB；（2）过点作，连结，证明平面平面，过点作，则为直线与平面所成角在四棱锥中，设，则，从而.