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平面对量的坐标运算
学习了向量的坐标表示后，我们可以把向量运算代数化.将数与形紧密结合起来，从而使很多问题转化为我们熟知的数量运算，使问题得以简化.下面举例说明平面对量的坐标运算在解几类题中的应用.
一、两向量相等问题
例1 已知向量和向量的对应关系可用表示，求证：对任意向量及常数，恒有＋成立．
证明：设，，
则，
，
成立．
点评：两个向量相等，对于用坐标表示的向量，就是这两个向量的坐标相同.为应用题设条件，必需用坐标表示向量，通过坐标进行运算，从而解决问题.
二、点的坐标问题
例2 如图1，已知正方形的顶点的坐标分别为，求点的坐标．
解：过作轴的垂线，垂足分别为，
由是正方形可知．
易知，，
即点的坐标为．
设，则．
由，得解得故点．
点评：解决本题的关键在于把握好向量相等或向量加、减运算的坐标表示与图形表示之间的关系，运用“数形结合”的思想转化解题.
三、三点共线问题
例3 过原点的直线与函数的图象交于两点，过分别作轴的垂线交函数的图象于两点．求证：三点在一条直线上．
证明：设，则，
依据已知与共线，
．
又依据题设条件可知，
．
，
与共线，即三点在一条直线上．
点评：本题将三点共线的证明转化为论证向量共线关系式.通过构设点的坐标，改用向量的坐标运算来论证，格外简捷、新颖、奇妙.
四、几何问题
例4 已知的面积为，分别为边上的点，
且，且交于，求的面积．
解：如图2，以为原点，为轴建立直角坐标系．
设，
则，，，
．
点和分别共线，
存在和，使，．
又，
由②得，代入①，化简得．
，，．
于是，的面积为，的面积为，
故的面积为．
点评：本题是通过建立直角坐标系，构设点的坐标后转化为向量的坐标运算，确定出点的位置来求解的，体现了数学建模思想的运用.
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